曲线积分与曲面积分(答案(1)

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1、第十章曲线积分与曲面积分(一)1．解：两点间直线段的方程为：，故所以。2．解：的参数方程为，则所以3．解：故4．解：如图26：，，：，，：，，∴5．解：∴6．解：∴。7．解：8．解：直线段的方程为，化成参数方程为，，，从1变到026故9．解：直线的参数方程为，，()10．解：11．解：1)原式2)原式12．解：1）的方向余弦，2），26故3），故13．解：因为故原积分与路径无关，于是原式。14．解：，，由，得，解得故当时，所给积分与路径无关取计算，其中，，15．解：原式26又∴16．解取，，，可得面积设为在第I象限部

2、分的面积，由图形的对称性所求面积注：还可利用17．解：，，因为，所以积分与路径无关取路径原式18．解：，原式。2619．解：，原式20．解：1），故是某个的全微分。2），21．解：：，故原式22．解：原式这里为在第一象限部分2623．解：，原式24．解：25．解：平面这部分的面积因而故重心坐标为26．解：因为曲面积分有向曲面，所以当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：，面积为0，，26原式。28．解：根据轮换对称，只要计算：注意到：，再利用极坐标可得于是原式29．解：原式，这里，，是的法向理的方向余

3、弦而是平面在第一卦限部分的上侧，取。，，故原式。2630．解：1）原式20，，故原式。31．解：2）。32．解：，，，，故2633．解：取为平面，被所围成的部分的上侧，的面积为，的单位法向量为原式。34．证：平面的单位法向理由斯托克斯公式得左边35．解：闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向)，它的参数方程为，，，故环流量为.36．解：。37．解：证平面合科立方体内的部分为，它在26平面上的射影为，面积为，取平面的上侧，单位法向量，于是由斯托克斯公式得原式。(二)1．解：的参数方程，则所以2．解：所以3．解：取坐标系如图，

4、设重心坐标为，由扇形的对称性可知，又264．解：所以5．解所以6．解：1）2）267．解：由，，得，，故故8．解：圆周的参数方程为，故9．解：10．解：如图，：，：26故原式11．解：由于，又，故曲线积分与路径无关，取折线，则原式。12．解：由于，，又故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线，得原式13．解：取参数方程，面积14．解：不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图，因为故，所以原式15．解：作代换，得曲线的参数方程，，由于，26从而，故面积16．解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区

5、域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：，，使全部补所包围，在和为边界的区域内，根据格要公式，有∵，故上式为零∴。17．解：：，原式18．解：：，原式26。19．解：半球壳的方程为：。20．解：质量为从而垂心的坐标为即重心坐标为。21．解：由于曲面得分成上下两部分，记成，，又由26解得：，，所以22．解：证在，，平面上的部分分别为，，，在面上的部分为。故原式(另解：可求得，由对称性可得原式也可用高斯公式)23．解：：，由轮换对称，只要计算积分再利用广义极坐标可得26于是原式。24．解：证，分别为

6、锥面的底面和侧面而，，为锥面外法线的方向余弦：，则又对上的任一点有故在各坐标平面上射影分别为，，于是故原式25．证：由格林第一公式得26同理两式相减得：。26．解：设，其中为从到的直线段，则为封闭曲线，由斯托克斯公式得，其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。∴27．证：(三)1．解：，于是当时，有26当时，有故当时，有2．解：，于是3．解：质量为于是垂心坐标为4．解：∵，∴但，又26∴原式5．解：，故当时，，因此只要路径不过轴，点到点的曲线积分与路径无关，取路径，有原式6．解：时，有，改右半平面，由于是单连通区域，且

7、在其上，故在上的是某函数的全微分，且可取26于是原式7．解：，，即解此一阶线性微分方程得由得，故所求函数为8．解：所求的功，，，当时，此积分与路径无关故9．解：由格林公式各261）当（舍去），时，2）由，得（舍去），，故当时，取最大值，10．解：补上：，，上侧由高斯公式11．解：由对称性可知原式，：而故原式12．解：取：，方向与轴同上，则13．解：利用格林公式原式2614．解：，，，当时，有，积分与路径无关15．解：16．解：，，令，得比较系数得，，∴26∴故的形式17．解：，其中，，分别是在，，上的曲面块。∴18．

8、证：设，且，，具有二阶连续导数∵26∴26