曲线积分与曲面积分

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1、第十章曲线积分与曲面积分一、基本内容要求1．理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量；2．掌握线、面积分的计算法；3．知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；4．掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；5．掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；6．掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。二、选择1．设是从O（

2、0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=不相等的积分是：（）A)B)C)D)2．设L是从点O(0,0)沿折线y=1-

3、x-1

4、至点A(2,0)的折线段，则曲线积分I=等于（）A)0B)-1C)2D)-23．设L为下半圆周，将曲线积分I=化为定积分的正确结果是：（）A)B)C)D)4．设L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向，则等于：（）A)-8B)0C)8D)205．设AEB是由点A(-1,0)沿上半圆经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I

5、=等于：（）A)0B)C)D)一、填空1．是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有=。2．设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于。3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有。4．设Σ是球面的外侧，则积分。5．设L是xoy面上的圆周的顺时针方向，则I1=与I2=的大小关系

6、是。6．设力的模,的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L:正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为:。一、计算1．计算曲线积分，其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1)的闭曲线OABO.2．计算，其中L由直线段AB与BC组成，路径方向从点A(2,-1)经点B(2,2)到点C(0,2).3．求I=,其中为由点A(a,0)到点O(0,0)上半圆周.4．验证：当时，是某二元函数U(x,y)的全微分，并求U(x,y).5．计算，Σ是球面在第一卦限部分的上侧。6．设在xoy面内有一分布着质量的曲线

7、弧L，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy；（2）这曲线弧的重心坐标。1．计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周x=acost,y=asint；（2），其中L为圆周，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（3），其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).1．计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的

8、整个边界（按逆时针方向绕行）；（2），其中L为圆周（按逆时针方向绕行）；（3），其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。9．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆.10．证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值：11．利用格林公式，计算下列曲线积分：,其中L为正向星形线.12．验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数U(x,y)的全微分，并求这样的一个U(x,y)：13．计算下列对面积的曲面积分：（1），其中Σ为平面2x+2y+z=6在

9、第一卦限中的部分；（2），其中Σ为锥面被柱面所截得的有限部分。14．求抛物面壳()的质量，此壳的面密度的大小为ρ=z.15．计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中∑是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2），其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。16．利用高斯公式计算曲面积分：,其中∑为球面的外侧。一、证明已知f(u)连续，且L为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：二、应用1．求均匀的锥面（设面密度为1）对ox轴的转动惯量。2．求矢量场穿

10、过圆柱体的全表面的流量和侧表面的流量。3．求均匀弧x=a(t-sint),y=a(1-cost)的重心坐标。4．设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置()沿直线移动到()时重力所作的功。5．设曲线L的极坐标方程为，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L的质量。6*．求半径为R的均匀半圆周L（线密度为δ=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。7*．试用曲线积分求平面曲线L1：绕直线L2：旋转所成旋转曲面的面积。