曲面积分与曲线积分

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1、§10．2对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算第二类曲线积分的定义、定义的推广对坐标的曲线积分的性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：设在xOy面内有一个质点，在变力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线L移动到点B，试求变力F(x,y)所作的功．OxyABF(x,y)L一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：OxyABL用点AA0，A1，A2，···，An1，AnB把

2、L分成n个小弧段，A1A2AkAk+1An-1F(xk,yk)显然，变力F(x,y)沿有向小弧段AkAk+1所作的功可以近似为[P(xk,yk)costkQ(xk,yk)sintk]sk．则于是，变力F(x,y)所作的功从而这里tt(x,y)，{cost,sint}是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量．对坐标的曲线积分的定义：设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cost,sint}是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义．如果下列二式右端的积

3、分存在，我们就定义对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分．定义的推广：设G为空间内一条光滑有向曲线，{cosa,cosb,cosg}是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义．我们定义(假如各式右端的积分存在)对坐标的曲线积分的简写形式：对坐标的曲线积分的性质：(1)如果把L分成L1和L2，则(2)设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则二、对坐标的曲线积分的计算应注意的问题：下限a对应于L的起点，上限b对应

4、于L的终点，a不一定小于b．定理：设P(x,y)、Q(x,y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数方程为当参数t单调在由a变到b时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，则若空间曲线G由参数方程xj(t)，y=y(t)，zw(t)给出，曲线的起点对应于t=a，终点对应于t=b，那么曲线积分讨论：如何计算？{P[j(t),y(t),w(t)]j(t)Q[j(t),y(t),w(t)]y(t)R[j(t),y(t),w(t)w(t)]}dt．提示：B(1,1)的一段弧．解第一种方法：以

5、x为积分变量．L分为AO和OB两部分．因此yxO1-11B(1,1)A(1,-1)B(1,1)的一段弧．yxO1-11B(1,1)A(1,-1)解第二种方法：以y为积分变量．L的方程为xy2，y从1变到1．因此xy2(1)L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)L为从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段．q从0变到．解(1)L的参数方程为xacosq，yasinq，xyOA(a,0)B(a,0)(2)L的方程为y0，x从a变到a．因此因此(3)有向折

6、线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)．OxyA(1,0)B(1,1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；解(1)L：yx2，x从0变到1．所以(2)L：xy2，y从0变到1．所以(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)．OxyA(1,0)B(1,1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线x

7、y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；=0+1=1．解(3)L=OA+AB，点B(0,0,0)的直线段．x3t，y2t，xt，t从1变到0．所以例5设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点．此质点由点A(a,0)沿按逆时针方向移动到点B(0,b)，求力F所作的功．解椭圆的参数方程为由假设有Fk(xiyj)，其中k>0是比例常数．于是OxyABabxacost，ybsint，F三、两类曲线积分之间的联系由定义，得即类似地有若

8、令F{P,Q,R}，T{cosa,cosb,cosg}为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单们切向量，drTds{dx,dy,dz}，则上述关系可写为