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1、第十四章曲线积分与曲面积分（高教社刘玉莲361）§14.1曲线积分一、第一型曲线积分首先讨论物质曲线的质量。如果在xy平面上有一条可求长的曲线C，如图14.1，已知曲线C上点（x,y）的线密度是(x,y),求曲线C的质量。在曲线C上依次任取一组点：A=，，，…，，=B，记为分法T。它们将曲线C分成n个小弧：，，…，，…，.设第k个小弧的长是，在其上任取一点（，）。在点的线密度（，）近似代替第k个小弧上每一点的线密度。于是，（，）应是第k个小弧质量的近似值，k=1,2，…，n。它们的和，即应是曲线
2、C质量的近似值。设（T）是分法T的n个小弧之长中最大者。（T）越小，越接近于曲线C的质量。于是，曲线C的质量m应该是极限m=.抽取上式的物理意义就得到第一型曲线积分。设二元函数（x,y）在xy平面上一条可求长曲线C(A,B)上有定义。用任意分法T，将曲线C依次分成n个小弧：，，…，，其中=A，=B。设它们的弧长分别是，，，…，。在小弧上任取一点（，），k=1，2，…，n，取该点的函数值(，)与作乘积，然后作和=,(1)称为二元函数(x.y)在曲线C（A，B）的积分和。令（T）=max{，，…，}
3、。定义设二元函数（x,y）在可求长曲线C（A，B）有定义。若当（T）→0时，二元函数（x,y）在曲线C（A，B）的积分和（1）存在极限I，即==I，则称I是函数（x,y）在曲线C的第一型曲线积分，记为I=，其中ds是弧长微元。不难看到，在xy平面上一条物质曲线C（A，B），若其上每一点（x，y）的线密度是（x，y），则物质曲线C的质量m是第一型曲线积分，即m==.根据第一型曲线积分定义，不难证明，第一型曲线积分有下述性质（仅列举其中四个性质）：1．=，即第一型曲线积分与曲线C的方向（由A到B或由
4、B到A）无关。事实上，在积分和（1）中小弧之长与曲线C的方向无关。2．=.3．k，其中k是常数.4．=+.定理1若曲线C（A，B）：x=，y=，,是光滑的，即，在[，]连续，且不同时为零，函数（x,y）在C连续，则函数（x,y）在C（A，B）存在第一型曲线积分，且=.（2）证明给区间[，]任意分法T，分点依次是.第k个小区间[]对应曲线C上第k个小弧，设其长是.由§8.5弧长公式与定积分中值定理，有=dt=，其中=，.在[]上任取一点,在曲线C上对应点是P（）.作和==.（3）注意上面等式中与都
5、属于[]，但是不一定相等。为此将它改写为=+，（4）其中=-.(4)式第一个和数是连续函数在区间[，]的积分和。因此，有=.下面证明.事实上，已知函数在闭区间[，]连续，从而它在[，]有界；函数在闭区间[，]连续，从而一致连续。即,有
6、
7、.又，，），有
8、-
9、.于是，当时，有
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11、.
12、-
13、
14、
15、=,即.当时，有.当时，（4）式存在极限，即函数（x,y）在曲线C上存在第一型曲线积分，即=.（2）式将第一型曲线积分化成了定积分，它就是计算第一型曲线积分的公式。特别地，曲线C（A，B）是由方程y=y(x)给
16、出，且（x）在[a，b]连续时，（2）式是=.（5）例1计算，其中C：x=acost，y=bsint，.解，t.dt.由公式（2），有I=dt=dt.设，或，有例2计算，其中C是圆周，.解如图14.2..：，：.，.由公式（5），有设三维欧式空间有一条可求长的曲线C（A，B）。函数在曲线C有定义。可仿照平面（二维空间）第一型曲线积分定义给函数在空间曲线C上的第一型曲线积分（6）的定义，其中ds是空间曲线C的弧长微分。若三维欧式空间中光滑曲线C的参数方程，则三维欧式空间中第一型曲线积分（6）可化成
17、定积分，有公式，（7）其中是空间曲线C的弧长微分，即.例3计算，其中C是圆柱螺旋线：，，，.解，，...二、第二型曲线积分首先讨论力场作功问题。我们知道，若质点在常力F（大小与方向都不变）的作用下沿直线运动，位移是（有向线段），则常力F所作的功W是F与的内积，即，其中是F与之间的夹角。设有一质点在平面力场的作用下，沿光滑的有向曲线C由点A运动到点B，如图14.3，求力场F所作的功。有任意分法T，将曲线C分成n个有向的小弧：，，…，，其中，.设的坐标是（）。将第k个有向小弧的弦记为，则弦在x轴与y
18、轴上的投影分别是与，即.在第k个小弧上任取一点.在点的（力）向量是.以点的向量近视代替第k个小弧上每一点的向量。于是，内积应是质点在力场F的作用下，沿第k个小弧由点运动到点所作功的近似值。它们的和应是质点在力场F的作用下，沿曲线C由点A到点B所作功W的近似值。当越小，近似程度越好。于是，当时，有.由内积公式，有，即.（8）抽出（8）式的物理意义就得到第二型曲线积分。设平面上有光滑有向曲线C（A，B），二元函数在曲线C上有定义。用任意分法T，将曲线C依次分成n个有向小弧：，其中，.设第k个小弧的弦
