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1、曲线积分与曲面积分一、选择1.设向量场A=xeyzi+yezxj+zexyk,则A在点M(1,-1,0)处的旋度rotA|M是(A).{1,1,1}.(B).{0,-1,1}.(C).{1,-1,0}.(D).{1,0,-1}.2.设是某二元函数的全微分,则m=A.0;B.1;C.2;D.33.若是某二元函数的全微分,则a,b的并系是A.a-b=0;B.a+b=0;C.a-b=1;D.a+b=1.4.曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系:5.设∑为平面在第一卦限的部分,则6设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界。用L
2、上的点M1,M2,…Mn-1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为ΔSi·(ζi,ηi)为第i小段上的一点,i=1,2,…,n。则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分(A)(B)(C),且极限值与L的分法无关,与(ξi,ηi)的取法无关。(D),其中ΔSi必须有相等的长度。其中入为ΔSi的长度的最大值。4设∑为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限部分,则(A);(B);(C);(D)二、填空1.设f(x)有连续导数,L是单连通域上任意简单闭曲线,且则f(x)=_______.2.设曲线段的参数方程为x=φ(t),y=
3、ψ(t),其中α≤t≤β。如果曲线段上的点(x,y)处线密度函数为ρ(x,y),则曲线段的质量的计算公式为__________.3.设有一力场,其场力的大小与作用点到Z轴的距离成反比,方向垂直于Z轴并指向Z轴。若某质点沿着一条光滑曲线C从点A移动到点B,则此时场力所作的功的计算表达式为______4.柱面∑以xoy平面上的线段L为准线,母线平行于oz轴,则∑介于平面z=0及曲面z=1+x2+y2之间的部分的面积可用曲线积分表示为_________.三、解答1求向量yzi+xzj+xyk穿过圆柱体x2+y2≤R2,0≤z≤H的全表面∑的外侧的通
4、量。2计算曲线积分式中L是正向圆周x2+y2=1.3计算,其中r是螺线:x=tcost,y=tsint,z=t.(0≤t≤t0)4计算其中∑是球面x2+y2+z2=R2,R为正数,α,β和γ为实数。5.设n为闭曲线C的朝外的法向量,D为C所围成的闭区域,函数u(x,y)具有二阶连续偏导数。试证明6.试证:若简单闭曲线L不通过y轴(x≠0),则所围面积为7.试求在x≥0部分由曲线y=sin2x及y=cos4x所围第一块封闭图形的面积。8.求曲面z=x2+y2被曲面所截下的那部分曲面∑的面积S。9计算,其中L是逆时针方向的闭曲线,其方程是x4+y
5、4=x2+y2.(x2+y2≠0).10计算其中∑是由曲面与平面z=0所围立体Ω的表面的外侧,a,b,c都是正数。11试验证:其中P为任意一条有向的光滑封闭曲线。一.选择CABBBCB二、填空1、x2+c2二.36、4.三解答1、0(高斯公式)2、0(格林公式)32、由对称性,5.略6解答下列各题(本大题8分)sin2x=cos4xx≥0得5解答下列各题(本大题7分)∑在xoy面上的投影域为D:x2+y2≤1.面积元素910由高斯公式(*)510(*)=7=1011.