曲线积分与曲面积分习题答案

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1、第十一章曲线积分与曲面积分第三节Green公式及其应用1．利用Green公式，计算下列曲线积分：(1)，其中为正向圆周；解：由Green公式，得，其中为。(2)，其中为以及为顶点的三角形负向边界；解：由Green公式，得。*(3)，其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧；解：连直线段AB，使L与围成的区域为D，由Green公式，得*(4)，其中为正向圆周.解：因为，。作足够小的圆周:,取逆时针方向，记与围成的闭区域为，由Green公式，得，故312．计算下列对坐标的曲线积分：，其中为曲线上由点到点的一段弧；解：，，故积分与路径无关，取经x轴到点的一条路径

2、，从而原式=。*3．设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有.证明：，记L围成的闭区域为D,由Green公式，得.第四节对面积的曲面积分1．填空题：(1)设为球面，则；(2)面密度的光滑曲面的质量.2．计算下列对面积的曲面积分：(1)，其中为平面在第一卦限的部分；解：，，(2)，其中为的部分；解：，31*(3)，其中为围成四面体的整个边界.解：，其中，，，。31第七节Stokes公式*环流量与旋度1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)，为面内圆周逆时针方向；解：取为平面的下侧被围成的部分，D为在面上的投影区域。由Stokes公式，得(2)，为平面在第一

3、卦限部分三角形的边界，从轴正向看去是逆时针方向；解：取为平面的上侧被围成的部分，的单位法向量。由Stokes公式，得31第十一章综合练习题1．填空题：(1)已知为椭圆，其周长为，则12a；(2)已知为直线上从点到点的直线段，则1；(3)设是以点,,为顶点的三角形正向边界，则0；(4)曲线积分与路径无关，则可微函数应满足条件；*(5)设为平面在第一卦限的部分，取上侧，则0.2．求下列曲线积分：(1)，其中为球面被平面所截得的圆周；解：在的方程中，由于x,y,z循环对称，故，于是31*(2)，其中是以为圆心，为半径的正向圆周；解：，。作足够小的椭圆，取顺时针方向，由格林公

4、式，得。所以*3．在过点和的曲线族中，求一条曲线，使该曲线从到积分的值最小.解：令，则。所以所以得驻点。又，故在取得最小值，从而为。*4．设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,计算.解：，，由于积分与路径无关，所以，即，从而。由，知，所以。于是。5．计算下列曲面积分：(1)，其中为圆柱面介于与之间的部分；解：在的方程中，由于x与y循环对称，故，于是31*(2)，其中为下半球面的上侧；解：设平面，取下侧。和围成的下半球体为。由格林公式得：近三年考研真题（2013年）1.设,,,为四条逆时针方向的平面曲线，记，则（）（A）(B)(C)（D）（2012年）2.设，则

5、（2011年）3.设L是柱面方程与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（2011年）4.已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周到点（2，0），再沿圆周到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分。31近三年考研真题解析（2013年）1.解析：由格林公式：，在内，因此。而在在外，因此。可得。（利用极坐标分别计算出和）（2012年）2.解析：由曲面积分的计算公式可知：，31其中，故原式=。（2011年）3.解析：由斯托克斯公式得：（2011年）4.解析：设圆为,圆为，所补的直线为，由格林公式得：原式31