曲面积分曲线积分习题

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1、习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终解答提示:计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则P2443(1)P2443(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:P2443(6).计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.(1)利用对称性及重

2、心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答:(1)(2)计算其中L为上半圆周提示:沿

3、逆时针方向.练习题:P244题3(5);P245题6;11.3(5).用格林公式:P2456.设在右半平面x>0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为P24511.求力沿有向闭曲线所作的其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三提示:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,设三角形区域为,方向向上,则方法2利用公式斯托克斯公式二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(

4、1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?不对!对坐标的积分与的侧有关2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化练习:P244题4(3)其中为半球面的上侧.且取下侧,原式=P244题4(2),P245题10同样可利用高斯公式计算.记半球域为

5、,高斯公式有计算提示:以半球底面为辅助面,利用例8.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式