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1、曲线积分柱面面积1.两类曲线积分的联系2.二重积分与曲线积分的关系——格林公式与路径无关的四个等价命题条件等价命题补充：全微分方程及其求法1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.2.解法:应用曲线积分与路径无关.通解为用直接凑全微分的方法.全微分方程不定积分法.解是全微分方程,原方程的通解为例1曲线积分法解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2凑微分法另解是全微分方程,原方程的通解为例2又即不定积分法二、积分因子法*定义:问题:如何求方程的积分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有解例3则原
2、方程为原方程的通解为(公式法)可积组合法解将方程左端重新组合,有例4求微分方程原方程的通解为解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例5求微分方程解1整理得A常数变易法:B公式法:例6解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:C不定积分法:原方程的通解为练习题练习题答案2002研究生考题(数学一)8分内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab=cd时,求I的值.练习证因为所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关.(1)解(2)由于曲线积分I与路径L无关,L是上半平面(y>0)内的有向分
3、段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).所以(2)当ab=cd时,求I的值.法一解(2)L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).(2)当ab=cd时,求I的值.法二设F(x)为f(x)的一个原函数,则由此得练习当时，被积函数小于0，故当时，此二重积分将达到最大值。也就是说当是的正向边界时将取得大值。第一类曲面积分2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;（一投！二代！三换！）则补充：参数方程曲面上的第一类曲面积分计算法则例4解由轮换对称性，再由对称性，oyxy=a-xDxya例解积分曲面方程轮换对称提示即三个
4、变量轮换位置方程不变.具有轮换对称性,中的变量x、y、z思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思考题解答是曲面元的面积,故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是因为若Ω为直线上的区间[a,b],则故是若Ω是平面区域G,则故是若Ω是空间区域,则故是若Ω为平面(空间)曲线L,则部分和式的极限为曲线积分是若Ω为曲面Σ,则上述部分和式的极限就是曲面积分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ记上半球面为下半球面为不是单值的.计算曲面积分的值.练习对上半球得对下半球Σ是球面所
5、以极坐标计算其中Σ为球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解练习上方的部分.Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.关于yOz面及xOz面对称;1995年研究生考题,计算,6分解积分曲面Σ在xOy面上的投影域练习积分曲面练习题练习题答案
