曲线积分与曲面积分(1)

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1、第十章重积分曲线积分与曲面积分第一节二重积分一、二重积分的概念1，引例求曲顶柱体的体积曲顶柱体：设有一立体，它的底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，在有界闭区域上连续，且。求曲顶柱体的体积（1）将区域任意分成个小区域且以表示第个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些小柱面把曲顶柱体分成个小曲顶柱体。以表示第个小曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积为：（2）在每个小区域上任意取一点，作乘积，则作和式（3）用表示第个小区域的直径，记，当时，和式的

2、极限就定义为曲顶柱体的体积，即52．二重积分的定义和在直角坐标系中的表示定义8.8设是有界闭区域上的有界函数。将区域任意分成个小区域且以表示第个小区域的面积，在每个小区域上任意取一点，作乘积，并作和式。用表示第个小区域的直径，记，如果无论对怎样分法，也无论点怎样取法，只要当时，和式的极限总存在，则称此极限为在上的二重积分，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和，叫做面积元素。注意（1）存在时，其极限与的分法，点的取法无关；（2）存在时，其极限与积分变量无关；二重积分在直角坐标系中

3、可表示为：其中叫做直角坐标系中面积元素。二、二重积分的性质性质1常数因子可以提到积分号前，即性质2代数和的积分等于积分的代数和，即5性质3（对于区域的可加性）如果积分区域分成两个区域，则性质4如果，则性质5如果，则其中为的面积。性质6如果在上的最大值与最小值分别为与，则性质7（积分中值定理）如果在上连续，则在上至少存在一点使得成立。二重积分的几何意义三、二重积分的计算1．利用直角坐标计算二重积分（1）设积分区域可表示为此类区域的特点为：用平行于轴的直线穿过区域的内部时与的边界曲线相交恰好两个交点，称为—型区域。则（2）设

4、积分区域可表示为5此类区域的特点为：用平行于轴的直线穿过区域的内部时与的边界曲线相交恰好两个交点，称为—型区域。则(8.7)注意在计算时，把看成常数；在计算时，把看成常数。（3）若区域既不是—型区域，也不是—型区域，则可用平行于坐标轴的直线把它分成几个部分区域，使每个部分区域是—型区域或—型区域，然后利用公式(8.6)或(8.7)计算。计算二重积分的步骤：（1）画出积分区域图，并确定积分区域的类型；（2）若积分区域只是—型区域，则用公式(8.6)，若积分区域只是—型区域，则用公式(8.7)，积分区域既是—型区域又是—型区

5、域，则要根据被积函数的特点确定用(8.6)还是用(8.7)计算。例1计算二重积分，其中由围成。例2计算二重积分，其中由围成。例3计算二重积分，其中由围成。例4计算二重积分，其中由围成。例5计算二重积分，其中由围成。2．利用极坐标计算二重积分设通过原点的射线与区域的边界曲线的交点不多余两点，则二重积分在极坐标系下可表示为：（8.8）其中叫做极坐标系中面积元素。在极坐标系下的二重积分，也要化为二次积分计算：（1）极点在区域之外，此时积分区域可表示为则（8.9）5（2）极点在区域的边界上，此时积分区域可表示为则(8.10)（3

6、）极点在区域的内部，此时积分区域可表示为则(8.11)例6计算二重积分，其中由围成。例7计算二重积分，其中由所确定的圆域。例8计算积分上一章下一章5