曲线积分与曲面积分 (4).pdf

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1、§104对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(xyz)求其质量把曲面分成n个小块SSS(S也代表曲面的面积)12nin求质量的近似值(,,)S(()是S上任意一点)iiiiiiiii1n取极限求精确值Mlim(,,)S(为各小块曲面直径的最大值)iiii0i1定义设曲面是光滑的函数f(xyz)在上有界把任意分成n小块SSS(S也代表曲面的面积)在S上任取一点(

2、)如果当12niiiiin各小块曲面的直径的最大值0时极限limf(,,)S总存在则称此极iiii0i1限为函数f(xyz)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分记作f(x,y,z)dS即nf(x,y,z)dSlimf(,,)Siiii0i1其中f(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面对面积的曲面积分的存在性我们指出当f(xyz)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今后总假定f(xyz)在上连续根据上述定义面密度为连续函数(xyz)的光滑曲面的质量M可表示

3、为(xyz)在上对面积的曲面积分Mf(x,y,z)dS如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面及(记12作)就规定12f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS1212对面积的曲面积分的性质(1)设c、c为常数则12[cf(x,y,z)cg(x,y,z)]dScf(x,y,z)dScg(x,y,z)dS1212(2)若曲面可分成两片光滑曲面及则12f(x,y,z)

4、dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS12(3)设在曲面上f(xyz)g(xyz)则f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS(4)dSA其中A为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(xyz)的物质曲面的质量为nMlimf(,,)Sf(x,y,z)dSiiii0i1另一方面如果由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为D那么曲面的面积元素为dA1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxy质量元素为f[x,y,z(x,y)]dAf[x

5、,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxy根据元素法曲面的质量为Mf[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxyD因此f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxyD化曲面积分为二重积分设曲面由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为D函数zz(xy)在D上具有连续偏导数被积函数f(xyz)在上xyxy连续则f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxyD

6、xy如果积分曲面的方程为yy(zx)D为在zOx面上的投影区域则函数zxf(xyz)在上对面积的曲面积分为f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),z]1y2(z,x)y2(z,x)dzdxzxDzx如果积分曲面的方程为xx(yz)D为在yOz面上的投影区域则函数yzf(xyz)在上对面积的曲面积分为f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]1x2(y,z)x2(y,z)dydzyzDyz1例1计算曲面积分dS其中是球面x2y2z2a2被平面zzh(0ha)截出的顶部

7、解的方程为za2x2y2Dx2y2a2h2xyxy因为zzxya2x2y2a2x2y2adS1z2z2dxdydxdyxya2x2y2所以1dSadxdyza2x2y2Dxy2a2h2rdr1aad2a[ln(a2r2)]a2h22aln00a2r220hx2y2a提示1z2z21xya2x2y2a2x2y2a2x2y2例2计算xyzdS其中是由平面x0y0z0及xyz1所围成的四面体的整个边界曲面解整个边界