曲线积分与曲面积分 (6).pdf

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1、§106高斯公式通量与散度一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数则有PQR()dvPdydzQdzdxRdxdyxyzPQR或()dv(PcosQcosRcos)dSxyz简要证明设是一柱体上边界曲面为zz(x,y)下边界曲面为122zz(x,y)侧面为柱面取下侧取上侧取外侧13123根据三重积分

2、的计算法有RRz(x,y)dvdxdy2dzzz(x,y)z1Dxy{R[x,y,z(x,y)]R[x,y,z(x,y)]}dxdy21Dxy另一方面有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy1D1xyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy2D2xyR(x,y,z)dxdy03以上三式相加得R(x,y,z)dxdy{R[x,y,z(x,y)]R[x,y,z(x,y)]}dxdy21Dxy

3、所以RdvR(x,y,z)dxdyz类似地有PdvP(x,y,z)dydzxQdvQ(x,y,z)dzdxy把以上三式两端分别相加即得高斯公式例1利用高斯公式计算曲面积分(xy)dxdy(yz)xdydz其中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧解这里P(yz)xQ0RxyPQRyz00xyz由高斯公式有(xy)dxdy(yz)dydz

4、(yz)dxdydz(sinz)dddz2139dd(sinz)dz0002例2计算曲面积分(x2cosy2cosz2cos)dS其中为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦解设为zh(x2y2h2)的上侧则与一起构成一个闭曲面记它们11围成的空间闭区域为由高斯公式得hh2dxdy(xyz)dz2

5、dxdyzdzx2y2x2y2x2y2h2x2y2h2(h2x2y2)dxdyx2y2h2h提示dxdy(xy)dz0x2y2x2y2h2而(x2cosy2cosz2cos)dSz2dSh2dxdyh4x2y2h21111因此(x2cosy2cosz2cos)dSh4h4h422提示根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连

6、续偏导数证明uvdxdydzuvdS(uvuvuv)dxdydznxxyyzzv其中是闭区域的整个边界曲面为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方n向导数符号称为拉普拉斯算子这个公式叫做格林第一x2y2z2公式证因为方向导数vvvvcoscoscosnxyz其中cos、cos、cos是在点(xyz)处的外法线向量的方向余弦于是曲面积分uvdSu(vcos

7、vcosvcos)dSnxyzvvv[(u)cos(u)cos(u)cos]dSxyz利用高斯公式即得vvvvudS[(u)(u)(u)]dxdydznxxyyzzuvuvuvuvdxdydz()dxdydzxxyyzz将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式二、通量与散度高斯公式的物理意义将高斯公式PQR()dv(PcosQco

8、sRcos)dSxyz改写成PQR()dvvdSxyzn其中vvnPcosQcosRcosn{coscoscos}是在点(xyz)处的单n位法向量公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所