曲线积分与曲面积分 (7).pdf

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1、§10．7斯托克斯公式环流量与旋度§107斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数则有RQPRQP()dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxy记忆方式dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQRcoscoscos

2、或dSPdxQdyRdzxyzPQR其中n(coscoscos)为有向曲面的单位法向量讨论如果是xOy面上的一块平面闭区域斯托克斯公式将变成什么?例1利用斯托克斯公式计算曲线积分zdxxdyydz其中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则解按斯托克斯公式有zdxxdyydzdydzdzdxdxdy由于的法向量的三个方向余弦都为正又由于对称性上式右端等于3dDxy其中D为xOy

3、面上由直线xy1及两条坐标轴围成的三角形闭区域因此xy3zdxxdyydz21§10．7斯托克斯公式环流量与旋度解设为闭曲线所围成的三角形平面在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为D、D和D按斯托克斯公式有yzzxxydydzdzdxdxdyzdxxdyydzxyzzxy3dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy3dxdy2DDDDyzzxxyxy例2利用斯托克斯公式计算曲线积分I(y2z2)dx(z2x2)dy

4、(x2y2)dz3其中是用平面xyz截立方体0x10y10z1的表面所得的截痕若从x轴的正向2看去取逆时针方向31解取为平面xyz的上侧被所围成的部分的单位法向量n(1,1,1)即231coscoscos按斯托克斯公式有3111333IdS4(xyz)dSxyz3y2x2z2x2x2y243dS233dxdy32Dxy其中D为在xOy平面上的投影区域于是xy39I6dxdy642Dx

5、y2§10．7斯托克斯公式环流量与旋度dydzdzdxdxdyI2(yz)dydz(xz)dzdx(xy)dxdyxyzy2z2z2x2x2y2coscoscos4提示(xyz)dS121212dxdyxyz3y2x2z2x2x2y2I4(xyz)dS43dS233dxdy6dxdy93322DDxyxy二、环流量与旋度旋度向量场A(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))所确定的向量

6、场RQPRQP()i()j()kyzzxxy称为向量场A的旋度记为rotA即RQPRQProAt()i()j()kyzzxxyijk旋度的记忆法rotAxyzPQR斯托克斯公式的另一形式rotAndSAds或(rotA)dSAdsn其中n是曲面上点(xyz)处的单位法向量是的正向边界曲线上点(xyz)处的单位切向量沿有向闭曲线的曲线积分PdxQdyRdzAds叫做向量场A沿

7、有向闭曲线的环流量上述斯托克斯公式可叙述为向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量3