曲线积分与曲面积分(7)

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1、第十章曲线积分与曲面积分§10·1对弧长的曲线积分计算下列曲线积分:1，其中是以O（0，0），A（1，0），B（0，1）为顶点三角形边界．2，其中为直线与抛物线所围区域的边界．3，其中为半圆的边界。4，其中为曲线弧。5，其中为双纽线右面一瓣。6，其中为圆周。7求曲线的质量，设其线密度为。§10·2对坐标的曲线积分1计算，其中为抛物线上从点（0，0）到点（1，1）的一段弧。2计算，其中是由坐标轴及直线所构成的三角形周界，方向为逆时针方向。3计算，其中为由点A（0，0）到点B（2，4）的线段。4计算，其中为依逆时针方向绕椭圆一周的路径。5计算，其中为以A（

2、1，0），B（0，1），C（-1，0），D（0，-1）为顶点的正方形边界，取正向．6在椭圆上每一点M都有作用力，大小等于从点M到椭圆中心的距离，而方向朝着椭圆中心，求质点P沿椭圆位于第一象限中的弧从点A（，0）移动到点B（0，）时，力所作的功。§10·3格林公式1计算，其中是从O（0，0）到A（6，0）的上半圆周。2计算，其中为正常数，为从沿曲线到点的弧。3设为连接A（1，2），B（3，4）的某曲线弧，弧与其上方的直线所围成的面积为m，试计算：的值。4计算，其中为以点（1，0）为中心，为半径的圆周，取逆时针方向。5设位于（0，1）的质点A，对质点M的引

3、力大小为（K>0为常数)，r为质点A与M之间的距离，质点M沿曲线自点B（2，0）运动到O（0，0）求质点A对点M的引力所做的功。6利用曲线积分计算星形线所围图形的面积。7验证下列曲线积分与路径无关，并计算其值。⑴，其中是从A（0,0）到B（a,b）的任意弧段。⑵，其中连续，曲线是由圆弧及折线BCD组成，其中A（0，1），B（-1，1），C（0，-1），D（1，2）。7设关于中间变量具有连续的一阶导数，证明：沿任意分段光滑闭曲线曲线积分9求下列微分式的原函数：⑴⑵⑶10设在区域内可微，是内两点，是以为起点为终点的逐段光滑的有向曲线。⑴将改写成向量形式；⑵

4、设都在第一象限，计算§10·4对面积的曲面积分1计算，其中为平面在第一卦限中的部分。2计算，其中为上半球面3计算，其中为球面4计算，其中为曲面与平面所围成的立体的表面。5设为锥面在柱体内的部分，求曲面积分§10·5对坐标的曲面积分1设是平面被三坐标平面截下的部分的上侧，求：⑴⑵⑶2设是平面的下侧，求3设是半球面的上侧，求4把化为对面积的曲面积分，其中为上半球面的上侧。§10·6高斯公式和散度利用高斯公式计算下列曲面积分（1——5）1，其中是,所围立体的外表面。2，其中是由,所围立体的外表面，是外法线方向的方向余弦。3，其中是所围立体的内表面。4，其中是

5、球面的外侧在的部分。5，其中为下半球面的上侧。6，为空间立体的全表面，分片光滑，为其外法线向量，为的体积，求证：7求穿过曲面通量，曲面法向量向上。8求下列向量场的散度：⑴⑵§107斯托克斯公式和旋度1是闭折线ABCA，求，其中。2为曲线，从轴的正方向看沿顺时针方向，求3为曲线，从轴的正方向看沿逆时针方向，求4为曲线，从轴的正方向看沿逆时针方向，求5求向量场沿闭曲线的环量，从轴的正方向看沿逆时针方向。6，求