曲线积分与曲面积分 (3).pdf

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1、§103格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线L的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有QP()dxdyPdxQdyxyLD其中L是D的取正向的边界曲线简要证明仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情

2、形进行证明P设D{(xy)

3、(x)y(x)axb}因为连续所以由二重积分的计算12y法有Pb(x)P(x,y)bdxdy{2dy}dx{P[x,(x)]P[x,(x)]}dxya(x)ya21D1另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有baPdxPdxPdxP[x,(x)]dxP[x,(x)]dx12LLLab12b{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx12a因此PdxdyPdxyLD设D{(xy)

4、(

5、y)x(y)cyd}类似地可证12QdxdyQdxxLD由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得QPdxdyPdxQdyxyLD应注意的问题对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取PyQx则由格林公式得2dxdyxdyydx或Adxdy1xdyydxL2LDD例1椭圆xacosybsin所围成图形的面积A

6、QPQP分析只要1就有()dxdydxdyAxyxyDD解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域11QP11令PyQx则122xy22于是由格林公式Adxdy1ydx1xdy1ydxxdyL222LD1212(absin2abco2s)dabdab2020例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明2xydxx2dy0LQP证令P2xyQx2则2x2x0x

7、y因此由格林公式有2xydxx2dy0dxdy0(为什么二重积分前有“”LD号？)例3计算ey2dxdy其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形D闭区域QP分析要使ey2只需P0Qxey2xyQP解令P0Qxey2则ey2因此由格林公式有xy11ey2dxdyxey2dyxey2dyxex2dx(1e1)02DOAABBOOAxdyydx例4计算其中L为一条无重点、分段光

8、滑且不经过原点的连Lx2y2续闭曲线L的方向为逆时针方向yxQy2x2P解令PQ则当x2y20时有x2y2x2y2x(x2y2)2yxdyydx记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得0Lx2y2当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通区域D应用格林公式得1xdyydxxdyydx0Lx2y2lx2y2其中l的方向取逆时针方向xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin

9、2于是d2Lx2y2lx2y20r2解记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得xdyydxQP()dxdy0Lx2y2xyD当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D应用格林公式得1xdyydxQP()dxdy0Llx2y2xyD1xdyydxxdyydx即0Lx2y2lx2y2其中l的方向取顺时针方向xdyydxxdyydx2r2cos2r2si

10、n2于是d2Lx2y2lx2y20r2yxQy2x2P分析这里PQ当x2y20时有x2y2x2y2x(x2y2)2y二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内