曲线积分与曲面积分 (5).pdf

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1、§105对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0在曲面的下侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0设是有向曲面在上取一小

2、块曲面S把S投影到xOy面上得一投影区域这投影区域的面积记为()假定S上各点处的法向量与z轴的夹角xy的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)为xy()cos0xy(S)()cos0xyxy0cos0其中cos0也就是()0的情形类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上xy的投影(S)及(S)yzzx流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(x

3、yz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v又设n为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为

4、v

5、的斜柱体当(v^n)时这斜柱体的体积为2A

6、v

7、cosAvn当(v^n)时显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量为零而2Avn0

8、,故Avn当(v^n)时Avn0这时我们仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n2所指一侧的流量它表示流体通过闭区域A实际上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Avn因此不论(v^n)为何值流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Avn把曲面分成n小块SSS(S同时也代表第i小块曲面的面积)12ni在是光滑的和v是连续的前提下只要S的直径很小我们就可以用S上任ii一点(,,)处的流速iiivv(,,)P(,,)iQ(,,

9、)jR(,,)kiiiiiiiiiiiii代替S上其它各点处的流速以该点(,,)处曲面的单位法向量iiiincosicosjcoskiiii代替S上其它各点处的单位法向量从而得到通过S流向指定侧的流量的近ii似值为vnS(i1,2,,n)iii于是通过流向指定侧的流量nvnSiiii1n[P(,,)cosQ(,,)cosR(,,)cos]Siiiiiiiiiiiiii1但cosS(S)cosS(S)c

10、osS(S)iiiyziiizxiiixy因此上式可以写成n[P(,,)(S)Q(,,)(S)R(,,)(S)]iiiiyziiiizxiiiixyi1令0取上述和的极限就得到流量的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到抽去它们的具体意义就得出下列对坐标的曲面积分的概念提示把S看成是一小块平面其法线向量为n则通过S流向指定侧的iii流量近似地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为

11、v

12、高为

13、v

14、cos(v^n)vn体积为vnSiiiiiii

15、ii因为ncosicosjcoskiiiivv(,,)P(,,)iQ(,,)jR(,,)kiiiiiiiiiiiiivnS[P(,,)cosQ(,,)cosR(,,)cos]Siiiiiiiiiiiiiiii而cosS(S)cosS(S)cosS(S)iiiyziiizxiiixy所以vnSP(,,)(S)Q(,,)(S)R(,,)(S)iiiiiiiyziiiizxiii

16、ixy对于上的一个小块显然在t时间内流过的是一个弯曲的柱体它的体积近似于以为底而高为(

17、V

18、t)cos(V^n)Vnt的柱体的体积VntS这里n(coscoscos)是上的单位法向量S表示的面积所以单位时