南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题及答案.doc

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1、南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156687677788100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、单项选择题(每题3分，共15分)1、设对任意的，总有，且，则=（）(A)存在等于零.(B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在.(D)不一定存在.2、设函数和在开区间内可导，有以下两论断：（1）若则；（2）若则.则（）(A)两个论断都不正确.(B)两个论断都正确.(C)论断（1）正确，论断（2）不正确.(

2、D)论断（1）不正确，论断（2）正确.3、当时，是的（）(A)低阶无穷小.(B)高阶无穷小.(C)等价无穷小.(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4、设，则（）(A)为正常数.(B)为负常数.(C)恒为零.(D)不为常数.5、若的导函数是，则下列为的原函数的有（）(A).(B).(C).(D).二、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、＝.2、设，则=.3、=.4、设，则=.5、为常数，可导，则=.得分评阅人三、（本题满分6分）求.得分评阅人四、（本题满分6分）设，求在上的最大值.`得分评阅人五、（本题满分8分）求常数，使在所定义区间上连续.得分评阅人六、（本题满分7分）

3、已知求.得分评阅人七、（本题满分6分）求不定积分.得分评阅人八、（本题满分7分）设函数，其中是连续函数，且.（1）求.（2）讨论的连续性..得分评阅人九、（本题满分7分）求定积分.得分评阅人十、（本题满分7分）求由方程所确定的曲线在点处的切线和法线方程.得分评阅人十一、（本题满分8分）设对任意的实数，有，当时，，试确定常数的值，使在处可导，并求此导数.得分评阅人十二、（本题满分8分）设在上可微，且满足，证明：至少存在一点，使得.南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题答案一、选择题1、D2、A3、B4、A5、C二、填空题1、4；2、；3、；4、；5、.三、原式====四、

4、，令，得，在内有唯一的驻点，又，所以，因此在处有唯一的极大值，即最大值，而，所以在上的最大值为五、当时处处连续，，于是有，，于是因此，，即当时在定义区间上连续六、七、===八、令，则，，，，所以，（1）当时，当时，=2所以（2）=-因此在处连续，又在处连续，所以处处连续九、=====十、设切线和法线的斜率分别为和，在方程两边求导得：，所以，则=1，=-1，因此所求切线方程为，所求发现方程为十一解：首先写出在附近的表达式，当时，由可知，所以=，显然在处连续，且，，因在处可导，故=，即=1，因此，十二、证由及积分中值定理可知，至少存在一点使=在上，令，那么，在上连续，在内可导

5、，且由罗尔定理可知，至少存在一点，使，即