南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案.doc

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1、南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2010年10月题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分3099999988100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空3分，共30分)1、=0；2、函数不可导点的个数是1；3、=；4、的收敛区域为[，）；5、设，则＝；6、函数在处的泰勒级数为；7、设，则=；8、若（），则=；9、交换二次积分的

2、次序为；10、存在的充要条件是，,当，时，有。二、证明：函数在上不一致连续.证明：对，，，，但是有所以，函数在上不一致连续.三、设函数在上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界.证明：，设在处的极限为，则，，有，从而。由为的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间……也是的开覆盖。记M为，……，中的最大数，则有，有，使得，于是四、设在上可导，且，试证：存在(0,),使得.令所以在(0,)达到最大值，故存在(0,),使得即五、已知曲线积分，其中是常数，有连续一阶导数，，是绕(0，0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.

3、试求及.如图所示，设C是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C上任意取定两点A，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA，由题设条件知即从而有，则,由知，，为了计算,取为单位圆周，则六、设在上可微，且，M是的上界，则M.由拉格朗日定理及，知存在c==于是，M七、设在上有连续偏导数，且（1）若求（2）若求.（1）两端关于求导，得当时，=，又在上有连续偏导数，所以=（2）由，知又由，得所以八、设，绝对收敛，则应用积分中值公式，有===由在处连续可知，任意，存在,使得（）从而（）结论对证。九、

4、求级数的和.作幂级数，该级数在收敛令