南昌大学第三届高等数学竞赛文科类试题及答案.doc

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1、南昌大学第三届高等数学（文科类）竞赛试卷姓名学号班级专业学院系别报名序号考试日期：2006.9题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分151510101010101010100得分考生注意事项：1.本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损，如有立即举手报告以便更换.2.考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场.得分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）评阅人1．设，则.2．当时，＝______________________.3．设则.4．曲线的拐点为.5．设，则.第10

2、页(共10页)二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）得分评阅人1．曲线在的切线存在是函数在可导的[]充分而非必要条件必要而非充分条件充分必要条件既非充分又非必要条件2．[]011/33．已知在的某邻域内连续，且，，则在处[]不可导可导且取得极大值取得极小值4．设是常数,且,若则[]5．[]1/20第10页(共10页)三、（本题满分10分）得分评阅人求极限四、（本题满分10分）得分评阅人设函数由参数方程所确定，求.第10页(共10

3、页)得分五、（本题满分10分）评阅人求不定积分六、（本题满分10分）得分评阅人证明不等式第10页(共10页)得分七、（本题满分10分）评阅人设连续，且，求在上的最值.八、（本题满分10分）得分评阅人已知函数在上连续，在内可导，且，证明：（I）存在，使得；（II）存在两个不同的点，使得.第10页(共10页)得分九、（本题满分10分）评阅人如图，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点与处的切线，其交点为。设函数具有三阶连续导数，计算定积分.第10页(共10页)南昌大学第三届高等数学(文科类)竞赛试题参考答

4、案一、填空题(每题3分，共15分)1．2．3．4．5．二、选择题(每题3分，共15分)1．2．3．4．5．三、（本题满分10分）解：＝＝＝＝＝＝四、（本题满分10分）解：，五、（本题满分10分）解：第10页(共10页)所以，原式六、（本题满分10分）证明:设则令得驻点为.由于.知为的极小值点,即最小值点.的最小值为.于是,对一切,有,即有不等式七、（本题满分10分）解：令,,,则＝原式两边对x求导得：第10页(共10页)令所以最大值为6，最小值为八、（本题满分10分）证明:(Ⅰ)令，则，由零点定理，,有，即(Ⅱ)在上用

5、中值定理.在上也用中值定理，,九、（本题满分10分）解：＝＝－＝－＝－+第10页(共10页)＝由是拐点，（的斜率）原式＝20第10页(共10页)