南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题及答案

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1、南昌大学第三届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:专业：学号：考试日期：2006年9月24日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、＝.2、心形线所围成的面积是.3、＝.4、螺旋线2，，在处的切线与轴的夹角为.5、级数的收敛区间是.第12页共12页一、选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（）(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在.2、设

2、二元函数则下面叙述中正确的是()(A)在点处的极限不存在.(B)在点处的极限存在但不连续.(C)在点处连续但不可微.(D)在点处可微.3、方程的一个特解可设为（）(A).(B).(C).(D).4、设，有连续的导数，则（）(A)2.(B)2.(C).(D).5、级数的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.第12页共12页得分评阅人三、（本题满分6分）设,计算.得分评阅人四、（本题满分6分）设在上二阶可导,且,,.证明在内至少存在一点使.第12页共12页得分评阅人五、（本题满分7分）设在内有连续导函数，求，是从点到的直线

3、段.得分评阅人六、（本题满分7分）设在内有定义，且，存在，对于任意，恒有，求.第12页共12页得分评阅人七、（本题满分8分）判别级数的敛散性，并求得分评阅人八、（本题满分7分）有连接两点、的一条凸曲线，它位于弦的上方，为曲线上任意一点，已知曲线与弦之间的面积为，求曲线方程.第12页共12页得分评阅人九、（本题满分7分）设，为长方体的外侧，，，为连续函数，计算.得分评阅人十、（本题满分7分）求极限.第12页共12页得分评阅人十一、（本题满分8分）求级数的和函数,并指明定义域.得分评阅人十二、（本题满分7分）求圆锥被圆柱所截部分的面积.第12页共12页南昌大学第三

4、届高等数学竞赛理工类试题答案一、填空题1、3.2、6.3、.4、或或.5、.二、选择题1、B2、C3、D4、A5、C三、＝＝＝＝＝.四、在与处分别将展成一阶泰勒公式，，，.上两式将代入再相减，得.因为，其中，.从而第12页共12页.五、，，＝，所以曲线积分与路径无关.设,则.原式＝＝－3＋＝－4六、令，得，由得＝＝＝由知对任意，.于是，，，将代入得，故.第12页共12页七、由得，于是收敛，从而存在，故，由得八、设所求曲线方程为，由题意得且，两边求导并整理得，解一阶非线性微分方程得，由解得，故九、先计算.将分为六张平面：取后侧；取前侧；取左侧；取右侧；取下侧；取

5、上侧.第12页共12页由于，，，在平面上的投影区域是一线段，故＝0又，.故有.同理可得，.故＝＋＋＝十、令，＝从而，即原式＝十一、令，则第12页共12页，从0到积分得，.再从0到积分得，.当时，＝也收敛，故收敛域为.十二、，.因而，＝，其中是，于是＝，故.第12页共12页