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《南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2009年10月11日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156687677788100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、单项选择题(每题3分，共15分)1、设,，则分别是和的（）(A)可去间断点、无穷间断点.(B)可去间断点、跳跃间断点.(C)无穷间断点、可去间断点.(D)跳跃间断点、无穷间断点.2、设，则（）(A).(B)不存在.(C).(D)0.3、设，其中为可导函数，则（）(A).(B).(C)1.(D).4、空间曲线上任一点处
2、的切线（）(A)与轴成定角.(B)与轴成定角.(C)与平面成定角.(D)与平面成定角.5、设级数收敛，则级数()(A)可能收敛也可能发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)发散.二、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、＝.2、设连续，则=.3、将化成极坐标形式的二次积分为.4、设是圆周，的方向为逆时针方向，则=5、设，则级数的收敛半径为.得分评阅人三、（本题满分6分）求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值.得分评阅人四、（本题满分6分）设，求,.得分评阅人五、（本题满分8分）计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心、为半径的圆周，,取逆时针方向.得分评阅人
3、六、（本题满分7分）设函数在内具有连续的导数，且满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.得分评阅人七、（本题满分6分）设，求级数的和.得分评阅人八、（本题满分7分）设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，，恒有.得分评阅人九、（本题满分7分）设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求.得分评阅人十、（本题满分7分）设，判别数列的敛散性.得分评阅人十一、（本题满分8分）设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？得分评阅人十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题。1.计算，其中曲线弧为：，.2.计算曲面积分，其中是曲面
4、被平面所截出部分的上侧.南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、单项选择题(每题3分，共15分)1、B.2、D.3、A.4、A.5、C.二、选择题(每空3分，共15分)1、1.2、.3、.4、8.5、.三、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值.对两边求导得，，令得，代入原方程解得.=32<0.故当时，取极大值.四、设，求,.=,=.五、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向.,,当时,当时,由格林公式知,.当时,,作足够小的椭圆曲线,从到.当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得，因此==六、设函数在内具有连续的导数，且
5、满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.=,两边对求导得，且，这是一个一阶线性微分方程，解得.七、设，求级数的和.令,则=...==,八、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，，恒有.令，则,==,于是.九、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求.两边对求偏导得,两边对求偏导得,，,=1.十、设，判别数列的敛散性.定义，令，则,当时，,=.,由可知收敛，从而收敛.十一、设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分的方程为，,,.球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令所求曲面面积为,=.令得驻点,
6、容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大.十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题.1.计算，其中曲线弧为：，.,(1),，(2)将(1)、(2)代入得==4.2.计算曲面积分，其中是曲面被平面所截出部分的上侧.记为平面上被园所围成的部分的下侧，为由与围成的空间闭区域.由高斯公式知===2.=3
