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时间:2020-08-08
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1、南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题序号:姓名:学院:第考场专业:学号:考试日期:2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156676877878100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、填空题(每题3分,共15分)1、=.2、=.3、设,,且,则=.4、微分方程满足的特解是.5、已知曲面上点处的切平面平行于平面,则点的坐标为.二、单项选择题(每题3分,共15分)得分评阅人1、设在的某邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是()(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在.2、设在内,,则
2、函数()(A)在内单调减少,在内单调增加.(B)在内单调减少,在内也单调减少.(C)在内单调增加,在内单调减少..(D)在内单调增加,在内也单调增加.3、设,,则当时,()(A)与是等价无穷小.(B)是比低阶的无穷小.(C)与是同阶但非等价的无穷小.(D)是比高阶的无穷小.4、已知,则()(A)不存在,存在.(B)都存在.(C)存在,不存在.(D)都不存在5、设级数在处收敛,则此级数在处()(A)条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D)收敛性不确定.得分评阅人三、(本题满分6分)计算.得分评阅人四、(本题满分6分)计算.得分评阅人五、(本题满分7分)设二元函数是由方程所
3、确定,求.得分评阅人六、(本题满分6分)求满足方程的可微函数.得分评阅人七、(本题满分8分)设在空气中自由落下的冰雹均匀地融化,每秒融化千克,空气阻力和冰雹速度成正比。若冰雹的初始质量为千克,初速度为零,试求冰雹运动的速度和时间的关系.得分评阅人八、(本题满分7分)设函数,判别级数的敛散性.得分评阅人九、(本题满分7分)设在上连续,在内有二阶连续导数,求证至少存在一点使得.得分评阅人十、(本题满分8分)求球面被平面与所夹部分的面积.得分评阅人十一、(本题满分7分)求,其中为常数,为从点沿曲线到点的一段弧.得分评阅人十二、(本题满分8分)注:科技学院考生只作第1题,其他考生只
4、作第2题。1.计算,其中区域.2.计算曲面积分,其中为上半球面的上侧,.南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1、3.2、.3、24.4、.5、.二、1、D.2、D.3、C.4、A.5、B.三、解令,则====2原式=四、解当时,存在正整数使,因此,=五、解由得.方程两边对求偏导得上述方程两边再对求偏导数得将,代入得=0六、解令,则==原方程可化为两边对求导得(﹡)再对求导得求解此微分方程得由(﹡)得,代入上式得因此七、解在秒时刻,冰雹的质量为,速度为,受阻力为,为比例系数,根据牛顿运动定律得化简得解得,由得,于是八、解,令,,则=,.由于,因此,由收敛得收敛九、
5、证,介于与之间相加得,(1)不妨设,由在内连续得在上连续,设在上的最大值和最小值分别为和,则,由介值定理得至少存在一点使得,代入(1)得结论.十、解,,,由对称性得=十一、解令,=,由格林公式得,.十二、解1、,由于,因此=2令,取下侧。=
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