南昌大学第六届高等数学竞赛(文科类)试题及答案.doc

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1、南昌大学第六届高等数学竞赛（文科类）试题序号姓名学院第考场专业学号考试日期：2009.10.11题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分1515101212121212100得分注：本试卷共六页，八道大题，考试时间为8:30---11:30.得分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）评阅人1．极限=.2．设，则=.3．设，则的极小值为.4．设，则=.5．=.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的横线上）得分评阅人1．若，则

2、.，，，，2．的图形在点处的切线与轴交点的坐标是.3．下列各式中正确的是.4．=.105．=.10三、（本题满分10分）得分评阅人求极限.四、（本题满分12分）得分评阅人设，求.得分五、（本题满分12分）评阅人已知，求.六、（本题满分12分）得分评阅人求不定积分.得分七、（本题满分12分）评阅人过抛物线上点作切线，问为何值时，所作切线与抛物线所围成图形面积最小？得分八、（本题满分12分）评阅人设与在上连续，在内可导，且，证明：存在一点使.南昌大学第六届文科高等数学竞赛试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、5；2、；

3、3、；4、；5、.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、D；2、A；3、A；4、B；5、C三、（本题满分10分）=====四、（本题满分12分）令，则当时，时===0-=-五、（本题满分12分）===六、（本题满分12分）======七、（本题满分12分）设切线斜率为，则切线方程为，即又设该切线与抛物线两交点横坐标为和，不妨设由所以，因此===，令（唯一）当时，当时，所以在时有唯一极小值，此即为最小值，从而时所作切线与抛物线所围成图形面积最小.八、（本题满分12分）证明：令，则在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且，又

4、，，所以由罗尔定理可知，至少存在使得，因此=0所以