南昌大学第三届高等数学竞赛经济类试题及答案.doc

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1、学院：系别：专业：班级：姓名：学号：考试日期：2006年10月题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分181864100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共18分)得分评阅人1、设，曲线在点处的切线与轴的交点为，则2、设，则不可导点的个数为3、已知的一个原函数是，则4、若连续函数满足关系式，则＝5、设，则在处的15阶导数6、二次积分化为极坐标系下的积分式为二、选择题(每小

2、题3分，共18分)得分评阅人南昌大学第三届高等数学竞赛卷（经济类）第8页共8页7、设、是恒正的可导函数，且，则当时，有（）（A）（B）（C）（D）8、已知在的某个邻域内连续，且，则在处，（）（A）不可导（B）可导且（C）取得极大值（D）取得极小值9、设是已知的连续函数，，（其中），则积分的值（）（A）依赖于（B）依赖于（C）依赖于，不依赖于（D）依赖于，不依赖于10、设在区间上，，，，记，，，则（）（A）（B）（C）（D）11、设是变元的可微函数，是由方程所定义的隐函数，其中为常数，则有（）（A）（B）（C）

3、（D）12、设为正项级数，则下列结论正确的是（）（A）若，则级数收敛；（B）若存在非零常数，使得，则级数发散；（C）若级数收敛，则；（D）若级数发散，则。一、计算证明题(共64分)得分评阅人13、（6分）设其中有二阶连续导数，且，，求；并讨论的连续性。第8页共8页14、（6分）设，求。15、（10分）设是周期为（）的连续函数，证明：第8页共8页16、（8分）某商品进价为元/件，根据以往的经验，当销售价为元/件时，销售量为件（、、为正数，且）。市场调查表明，销售价每下降10％，销售量增加40％。现决定一次性降价

4、，试问：当销售价定为多少时，可获得最大的利润，并求最大利润。17、（8分）设由方程确定，试求的极值。18、（8分）计算二重积分，其中D是由直线，和以及曲线所围的平面区域。第8页共8页19、（10分）求级数的收敛区间与和函数。20、（8分）设在上有连续的二阶导数，，且对，，试证：第8页共8页南昌大学第三届高等数学竞赛试题（经济类）解答一、填空题1、；2、2；3、；4、；5、；6、二、选择题7、A；8、D；9、D；10、A；11、C；12、B；三、计算证明题13、由定义求所以且在上连续。14、所以(或用二重积分计

5、算)15、证：设则即是以为周期德连续函数。因而在定义域上有界。故即16、解：以表示降阶后德售价，为增加的销量，为总利润。则，或利润函数为令，解得第8页共8页（或由问题实际意义可得）是极大值点，此时17、解：将看成的函数，在方程两边分别对求偏导得令，解得代入原方程得可能极值是，计算二阶偏导：在处，,在处取到极大值类似可得在处取到极小值18、解：记与轴所围成区域为则＝因为解2：用变换可以计算得所以，原式19、解：令并记原级数化为因为，，故收敛半径，而级数在处发散，所以级数得收敛区间为在内，将原级数化为两级数，再求

6、和第8页共8页第一个级数：第二个级数：令则，（因为）而，故所求和函数为20、证明：左端积分是一个暇积分，如果积分发散到，结论成立。以下设积分收敛：由假设，在内有连续得二阶导数，故在内连续，又，所以在内同号。不妨设，因而在内有最大值所以，在，中应用拉格朗日中值定理，，使得，＝第8页共8页