南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类05级试题及答案

《南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类05级试题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、试卷编号：()卷课程名称：适用班级：姓名：学号：班级：专业：学院：系别：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分25131312121015100得分考生注意事项：1、本试卷共8页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、判断题(每题5分，共25分)得分评阅人以下命题是正确的，请给以证明；不正确的，请举例说明。1、将数列分成无穷多个序列：，，…，，…。它们均收敛于同一个极限，则必收敛。这里，。2、设函数在可导，则在的某个邻域内连续。3、设函数，则在内没有原函数。4、设在内有定义，若对任意正

2、数，有，则存在（极限有限）。5、若函数满足，则在可导。南昌大学第三届高等数学竞赛（数学专业类2005级）试卷第11页共11页第11页共11页二、证明题（13分）得分评阅人设，且，则无界。第11页共11页三、证明题（13分）得分评阅人设，，则（i）在一致连续；（ii）在不一致连续。第11页共11页四、证明题（12分）得分评阅人设函数在上有二阶导数，，，则存在，使得。第11页共11页五、证明题（12分）得分评阅人设满足微分方程。（i）若在处取极值，证明它必为极小值；（ii）若在处取极值，问是极大还是极小？第11页共11页六、证明题（10分）得分评阅人设连续，且，求并讨论在的连续性

3、。第11页共11页七、证明题（15分）得分评阅人设函数在上可积，在处连续。设，证明：。第11页共11页数学分析竞赛（2005级解答）一、判断题（每题5分，共25分）1、不正确。例：，，，，…。2、不正确。例：。3、正确。若有使，则，当；，当。，。4、不正确。例：。5、正确。可通过定义直接验证。二、证明题（13分）证明：由，有。特别地有，整理得，（1）注意到，故有（2）由（1）和（2）可得以此类推，可得且，所以无界。三、证明题（13分）证明：（i）只须证：，，，有。事实上，任取，。第11页共11页即，因此可取。（ii）只须证：，，，有。事实上，取，，充分大时，，，而。证毕。四、

4、证明题（12分）证明：因为，，故有，使得，于是。另外，，在之间。将分别代入上式，得，，，当时，；当时，。所以（取或），有。五、证明题（12分）证明：（i），于是，得。所以在取极小值。（ii），而，所以在也取极小值。六、证明题（10分）第11页共11页证明：由已知，连续且，故。所以。令，所以，于是。另外，。，所以在连续。七、证明题（15分）证明：，。注意在可积由在连续，，，有。，当充分大时。于是，。第11页共11页