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时间：2019-05-12
《南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类03级、04级》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学分析竞赛（2003、2004级解答）一、判断题（每题5分，共25分）1、不正确。例：，，，，…。2、不正确。例：。3、不正确。例：。4、正确。，，使，在上一致收敛。5、正确。两边进行积分计算可得相等。二、证明题（12分）证明：由，有。特别地有，整理得，（1）注意到，故有（2）由（1）和（2）可得以此类推，可得且，所以无界。三、证明题（13分）证明：（i）只须证：，，，有。事实上，任取，5。即，因此可取。（ii）只须证：，，，有。事实上，取，，充分大时，，，而。证毕。四、证明题（12分）证明：因为，，故有，使得，于是。另外，，在之间。将分别代入上式，得，，，5当时，；当时，。所
2、以（取或），有。五、证明题（7分）证明：令，另外，六、证明题（7分）证明：①当时，矩形不包含原点，由格林公式，积分为0。②当时，矩形包含原点，作圆：，使之含于内，在以为边界的连通域内使用格林公式知5。七、证明题（24分）证明：（i）设。当时，，此级数绝对收敛；当时，，此级数发散；当时，，此级数发散。（ii）对，，有，而收敛。由判别法，知级数在一致收敛。（iii），，，使。（iv）设，，使。由（ii）知，在连续，由的任意性，得证。（v）验证可逐项积分。5。（vi）。，，，而收敛，（因为）。由判别法，在一致收敛，故在可逐项微分，所以。5
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