高中数学选修2-2教案第二章 4_2.docx

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1、4.2　导数的乘法与除法法则明目标、知重点1．理解导数的乘法与除法法则．2．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．导数的乘法与除法法则一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)．特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x)．探究点一　导数的运算法则思考1　设函数y＝f(x)在x0处的导数为f′(x0)，g(x)＝x2，用导数定义求y＝f(x)g(x)＝x2f(x)在x0处的导数．答　经计算得：y＝x2f(x)在x0处

2、的导数为xf′(x0)＋2x0f(x0)．小结　一般地，若f(x)、g(x)的导数分别是f′(x)、g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝(g(x)≠0)．思考2　应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点？答　(1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导．例1　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝＋；(3)y＝；(4)y＝1－sin2.解　(1)∵y＝x3＋x－＋＝x3＋x－＋sinx·x－2，∴y′＝(x3＋x－＋sinx·x－2)′＝3x2－x－

3、＋cosx·x－2＋(－2x－3)sinx＝3x2－＋－.∴y′＝3x2＋－－.(2)∵y＝＋＝＝－2，∴y′＝(－2)′＝＝.(3)y′＝(＋)′＝()′＋()′＝＋＝＝.(4)∵y＝1－sin2＝(3＋1－2sin2)＝(3＋cosx)＝＋cosx，∴y′＝(＋cosx)′＝－sinx.反思与感悟　对较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要，否则将增大计算量甚至导致错误．如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝x·tanx；(2)y＝；(3)y＝xsinx－.解　(1)y′＝(x·tanx)′＝()′＝＝＝.(2

4、)y′＝＝.(3)y′＝(xsinx)′－()′＝sinx＋xcosx－.探究点二　导数的应用例2　(1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为．答案　3x－y＋1＝0解析　y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：f(x)＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．答案　(－2,15)解析　设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，f′(x0)＝3x－10＝2，∴x

5、＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，∴s′(t)＝－＋2·＋4t，∴s′(3)＝－＋＋12＝，即物体在t＝3s时的瞬时速度为m/s.反思与感悟　本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′(t)．跟踪

6、训练2　(1)曲线f(x)＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.答案　B解析　∵f′(x)＝＝，∴f′()＝，∴曲线在点M处的切线的斜率为.(2)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．解　由题意得，f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知，即，故b＝0，c＝1.1．设y＝－2exsinx，则y′等于(　　)A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex

7、(sinx＋cosx)答案　D解析　y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．函数y＝的导数是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　y′＝′＝＝.3．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2答案　A解析　∵f′(x)＝＝，∴k＝f′(－1)＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝.答案　ln2－1解析　设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，∴x0＝2，∴y0＝

8、ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2