高中数学选修2-2教案第二章 4_2.docx

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1、4.2 导数的乘法与除法法则明目标、知重点1.理解导数的乘法与除法法则.2.将导数公式和导数四则运算相结合,灵活解决一些导数问题.导数的乘法与除法法则一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x),则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);′=(g(x)≠0).特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]′=kf′(x).探究点一 导数的运算法则思考1 设函数y=f(x)在x0处的导数为f′(x0),g(x)=x2,用导数定义求y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0处的导数.答 经计算得:y=x2f(x)在x0处

2、的导数为xf′(x0)+2x0f(x0).小结 一般地,若f(x)、g(x)的导数分别是f′(x)、g′(x),则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),′=(g(x)≠0).思考2 应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点?答 (1)要准确判断函数式的结构特点,选择合适的公式和法则;(2)求导前可以先对解析式适当化简变形,以利于求导.例1 求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=+;(3)y=;(4)y=1-sin2.解 (1)∵y=x3+x-+=x3+x-+sinx·x-2,∴y′=(x3+x-+sinx·x-2)′=3x2-x-

3、+cosx·x-2+(-2x-3)sinx=3x2-+-.∴y′=3x2+--.(2)∵y=+==-2,∴y′=(-2)′==.(3)y′=(+)′=()′+()′=+==.(4)∵y=1-sin2=(3+1-2sin2)=(3+cosx)=+cosx,∴y′=(+cosx)′=-sinx.反思与感悟 对较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要,否则将增大计算量甚至导致错误.如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便.跟踪训练1 求下列函数的导数:(1)y=x·tanx;(2)y=;(3)y=xsinx-.解 (1)y′=(x·tanx)′=()′===.(2

4、)y′==.(3)y′=(xsinx)′-()′=sinx+xcosx-.探究点二 导数的应用例2 (1)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.答案 3x-y+1=0解析 y′=ex+xex+2,则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0.(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:f(x)=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为.答案 (-2,15)解析 设P(x0,y0)(x0<0),由题意知,f′(x0)=3x-10=2,∴x

5、=4.∴x0=-2,∴y0=15.∴P点的坐标为(-2,15).(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位:m,时间单位:s),求t=3s时物体的瞬时速度.解 ∵s(t)=+2t2=-+2t2=-+2t2,∴s′(t)=-+2·+4t,∴s′(3)=-++12=,即物体在t=3s时的瞬时速度为m/s.反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,即k=f′(x0);瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数,即v=s′(t).跟踪

6、训练2 (1)曲线f(x)=-在点M处的切线的斜率为(  )A.-B.C.-D.答案 B解析 ∵f′(x)==,∴f′()=,∴曲线在点M处的切线的斜率为.(2)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,确定b、c的值.解 由题意得,f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b,由切点P(0,f(0))既在曲线f(x)=x3-x2+bx+c上又在切线y=1上知,即,故b=0,c=1.1.设y=-2exsinx,则y′等于(  )A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex

7、(sinx+cosx)答案 D解析 y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).2.函数y=的导数是(  )A.B.C.D.答案 C解析 y′=′==.3.曲线f(x)=在点(-1,-1)处的切线方程为(  )A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x+2答案 A解析 ∵f′(x)==,∴k=f′(-1)==2,∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b=.答案 ln2-1解析 设切点为(x0,y0),∵y′=,∴=,∴x0=2,∴y0=

8、ln2,ln2=×2+b,∴b=ln2

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