高中数学选修2-2教案第二章 3.docx

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1、明目标、知重点1．会求函数在一点处的导数．2．理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．1．导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝特别地(lnx)′＝y＝si

2、nxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝y＝cotxy′＝－[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．探究点一　函数在一点处的导数计算思考1　函数f(x)在一点处的导数有什么实际意义？答　函数f(x)在x0处的导数就是在点x0处的瞬时变化率，可以表示事物变化的快慢．思考2　物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若s′(1)＝＝9.8m/s，那么

3、下列说法中正确的是(　　)A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度B．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度答案　C例1　已知f(x)＝x2－3.(1)求f(x)在x＝2处的导数；(2)求f(x)在x＝a处的导数．解　(1)∵＝＝＝4＋Δx，∴f′(2)＝＝(4＋Δx)＝4.(2)∵＝＝＝2a＋Δx，∴f′(a)＝＝(2a＋Δx)＝2a.反思与感悟　计算函数y＝f

4、(x)在一点x0处的导数的步骤：(1)确定函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)确定平均变化率＝.(3)当Δx趋于0时，得到导数f′(x0)＝.跟踪训练1　求函数f(x)＝－x在点x＝4处的导数．解　＝＝－1.∴f′(4)＝＝＝－.探究点二　导函数思考1　函数的导函数是怎样定义的？答　如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是x的函数，称为f(x)的导函数．思考2　函数的导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？答　函数f(x

5、)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，f′(x)＝，f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值．例2　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(2)．解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋5－＝，∴＝，∴f′(x)＝＝＝－.∴f′(2)＝－.反思与感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值

6、f′(x0)．跟踪训练2　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．解　f′(x)＝＝＝(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，即f′(x)＝－2x＋3，∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.探究点三　导数公式表的应用思考　利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答　可以使用给出的导数公式表进行求导，简化运算过程，降低运算难度．例3　求下列函数的导数：(1)y＝s

7、in；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解　(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(5)y′＝(log3x)′＝.反思与感悟　对于教材中出现的几个导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式求导．跟踪训练3　求下列函数的导

8、数：(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.解　(1)y′＝8x7；(2)y′＝()xln＝－()xln2；(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；(4)y′＝＝－.例4　判断下面计算是否正确．求f(x)＝cosx在x＝处的导数，过程如下：f′()＝′＝－sin＝－.解　错误．应为f′(x)＝－sinx，∴f′()＝－sin＝－.反思与感悟　函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式