高中数学选修2-2教案第二章 4_1.docx

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1、4．1　导数的加法与减法法则明目标、知重点1．理解导数的加减法法则．2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．探究点一　导数的加法与减法法则思考1　怎样求函数y＝f(x)＝x＋x2

2、的导函数，可得出什么结论？答　根据导数定义Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2)＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2.∴＝1＋2x＋Δx，∴＝1＋2x，即f′(x)＝1＋2x.结论：(x＋x2)′＝x′＋(x2)′.思考2　将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请你写出来．答　[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．例1　求下列函数的导数．(1)y＝x3＋x2＋x；(2)y＝2x＋.解　(1)y′＝(x3＋x2＋x)′＝(x3)′＋(x2)′＋(x)′＝3x2＋2

3、x＋1.(2)y′＝(2x＋)′＝(2x)′＋()′＝2xln2＋.反思与感悟　利数导数的加法与减法法则，将两个函数的和差的导数转化为两个函数的导数的和差．跟踪训练1　已知f(x)＝tanx＋sinx，求f′.解　f′(x)＝(tanx)′＋(sinx)′＝＋cosx，∴f′＝4＋＝.探究点二　导数的应用例2　已知函数f(x)＝x3＋x，求函数在点(2,10)处的切线方程．解　f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.∴f′(2)＝3×22＋1＝13.∴所求切线的斜率是13.∴切线方程为y－10＝13(x－2)，即13x－y－16＝0.∴所求

4、切线的方程是13x－y－16＝0.反思与感悟　导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对于较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．跟踪训练2　已知函数f(x)＝sinx＋cosx，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程．解　∵f′(x)＝(sinx＋cosx)′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx，∴f′＝cos－sin＝0.∴曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为0.又f＝，∴所求切线方程为y＝.1．函数f(x)＝sinx＋x的导数是(　　)A．f′(x)＝cosx＋1B．f′(x)＝cosx－1C．f′(x)＝－cosx＋1D．f′(x)＝－cos

5、x＋x答案　A2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5答案　B解析　∵y′＝3x2－6x，∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3.∴切线方程为y＝－3x＋2.3．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为．答案　14解析　g′(x)＝f′(x)＋1，∴g′(1)＝f′(1)＋1＝14.4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为．答案　(1，e)解析　∵(ex)′＝ex.设切点坐标为(x0，)，则过该切点的切线斜率为，令＝.即x0·＝，∴x0

6、＝1.∴切点坐标为(1，e)．[呈重点、现规律]1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是不是切点．一、基础过关1．下列结论不正确的是(　　)A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx答案　D解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.2．函数y＝x－(2x－1)2的导数是(　　)A．3－4xB．3＋4xC．

7、5＋8xD．5－8x答案　D解析　y＝x－(4x2－4x＋1)＝－4x2＋5x－1，y′＝－8x＋5.3．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4)D．(2,8)和(－1，－4)答案　C解析　∵f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.4．曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为曲线过点(1,2)，所以b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，所以b＝－1

8、，c＝2.所以所求的切线