资源描述：
《高中数学选修2-2教案第二章 2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、明目标、知重点1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝.2．曲线的切线如图，曲线y＝f(x)的一条割线AB，其中A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))．当Δx趋于零时，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．3．导数的几何意义函
2、数的平均变化率的几何意义是曲线y＝f(x)割线的斜率；函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)表示曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一 函数在一点处的导数思考1 导数和平均变化率有什么关系？答 导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限，记作f′(x0)＝.思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答 函数在
3、某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．思考3 导数在实际问题中有什么意义？答 导数可以刻画事物变化的快慢．例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T′(2)，并解释它的实际意义．解 T′(2)＝＝＝＝－(℃/min)．T′(2)＝－(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以℃/min的速度下降．反思与感悟 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢．跟踪训练1 已知正方形的面积S
4、是边长x的函数S＝x2，计算S′(5)并说出S′(5)的意义．解 S′(5)＝＝＝＝(10＋Δx)＝10.S′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．探究点二 导数的几何意义思考1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的
5、直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．思考3 求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与求过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？答 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线．小结 (1)导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)；(2)欲求曲
6、线切线的斜率，先找切点P(x0，f(x0))．例2 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解 (1)设切点为(x0，y0)，∵y′
7、x＝x0＝＝＝2x0，∴y′
8、x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′
9、x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x
10、2上得y0＝x，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方
11、程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解 y′＝＝＝(4x
