高中数学选修2-2教案第一章 2.docx

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1、明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法的含义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法的含义从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合

2、情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥

3、4abc.小结此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C

4、成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，

5、书写出严密的证明过程．跟踪训练1在△ABC中，＝，证明：B＝C.证明在△ABC中，由正弦定理及已知条件得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π0，b>0)是怎样证明的？答要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的

6、结论变成一个明显成立的条件．小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2求证：－<－(a≥3)．证明方法一要证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－3＋2<2a－3＋2，只需证<，只

7、需证0<2，而0<2显然成立，所以－<－(a≥3)．方法二因为＋>＋>0，所以<，所以－<－.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2求证：＋<2.证明因为＋和2都是正数，所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以＋<2成立．探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的

8、题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．例3已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθcosθ＝sin2β.②求证：＝.证明因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1.③另一方面，要证＝，即证＝，即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2