高中数学选修2-2课时练习第二章 3.docx

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1、§3　计算导数[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．[知识链接]如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？答　导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法．导数公式是用定义求出导数的直接结果，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．[预习导引]1．导函数的概念：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(

2、x)＝，f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xα(α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝tanxf′(x)＝f(x)＝cotxf′(x)＝－　　　　　　　　　　　　　　　　

3、　　　要点一　利用导数定义求函数导数例1　用导数的定义求函数f(x)＝2013x2的导数．解　f′(x)＝＝＝＝(4026x＋2013Δx)＝4026x.规律方法　解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1　求f(x)＝＋x的导函数f′(x)．解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋(x＋Δx)－＝－＋Δx＝＋Δx＝＋Δx，∴＝－＋1，∴当Δx→0

4、时，→－＋1，即f′(x)＝＝＝－＋1.要点二　用导数公式求导数例2　求下列函数的导数：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解　(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝′＝＝＝；(5)y′＝(log3x)′＝.规律方法　对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、

5、分式可转化为指数式，利用公式2求导．跟踪演练2　求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝解　(1)y′＝8x7；(2)y′＝xln＝－xln2；(3)∵y＝x＝，∴y′＝；(4)y′＝＝－.要点三　导数几何意义的应用例3　已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0，故切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，∵P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x，∴切线方程为：y－x＝2x0(x－x0)，又(3,5)在切线上，将(3

6、,5)代入上式得：5－x＝2x0(3－x0)，解得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，即：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.规律方法　(1)在解答本题过程中易出现将(3,5)点作为切点而考虑不全面的错误，出现这种错误的原因是对曲线的切线理解不透彻．(2)求曲线切线方程的一般步骤：跟踪演练3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为

7、M(x0，y0)，则y′

8、x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.1．给出下列结论中正确的个数为(　　)①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．2C．3D．4答案　C解析　①y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；②y＝＝，则y′＝·≠；③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x

9、)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)A.B．0C.D.答案　A解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(