正文描述:《高中数学选修2-2课时练习第二章 5.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5 简单复合函数的求导法则[学习目标]1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导.(仅限于形如f(ax+b)的导数).[知识链接]复合函数求导应注意哪些问题?答 复合函数求导时应注意:函数是由哪两个函数复合而成的.中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念.[预习导
2、引]1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)),其中u为中间变量.2.简单复合函数的求导法则若y=f(u),u=φ(x),则yx′=yu′·ux′.特别地,当u=ax+b时,yx′=a·yu′.3.求复合函数导数的步骤求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行:(1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系y=f(u),u=g(x);(2)分步求导
3、(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量求导,即先求yu′,再求ux′;(3)计算yu′·ux′,并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.整个过程可简记为分解——求导——回代.熟练以后,可以省略中间过程.要点一 复合函数的定义例1 指出下列函数是怎样复合而成的:(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos3x.解 (1)y=(3+5x)2是由函数y=u2,u=3+5x复合而成的.(2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u,u=x2-2x+5复合而成的.(3)
4、y=cos3x是由函数y=cosu,u=3x复合而成的.规律方法 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u,分别找出y关于u的函数关系,u关于x的函数关系.跟踪演练1 指出下列函数由哪些函数复合而成:(1)y=ln;(2)y=esinx;(3)y=cos(x+1).解 (1)y=lnu,u=;(2)y=eu,u=sinx;(3)y=cosu,u=x+1.要点二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数:(1)y=ln(x+2);(2)y=sin3x.解 (1)y=lnu,u=x+2,∴y′x=y′u·u′x=(lnu)′·(x+2)′=·1=.(
5、2)y=u3,u=sinx,∴y′x=y′u·u′x=(u3)′·(sinx)′=3u2·cosx=3sin2xcosx,即y′=3sin2xcosx.规律方法 应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面:(1)中间变量的选取应是基本函数结构.(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.跟踪演练2 求下列函数的导数:(1)y=e2x+1;(2)y=(-2)2
6、.解 (1)y=eu,u=2x+1,∴y′x=y′u·u′x=(eu)′·(2x+1)′=2eu=2e2x+1.(2)法一 ∵y=(-2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-.法二 令u=-2,则y′x=y′u·u′x=2(-2)·(-2)′=2(-2)=1-.要点三 导数的应用例3 求曲线y=e2x+1在点处的切线方程.解 ∵y′=e2x+1·(2x+1)′=2e2x+1,∴y′
7、=2,∴曲线y=e2x+1在点处的切线方程为y-1=2,即2x-y+2=0.规律方法 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意“在某
8、点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法.跟踪演练3 曲线y=esinx在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.解 设u=sinx,则y′=(esinx)′=(eu)′(sinx)′=cosxesinx,y′
9、x=0=1.则切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0若直线l与切线平行可设直线的l方程为x-y+c=0.两平行线间的距离d==⇒c=3或c=-1.故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.1.函数y=(3x-2)2的导数为( )A.2(3x-2)B.6xC.6x(3x-2)D.6(3x-2)答案
10、 D解析 y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2).2.若函数y=sin2x,则y′等于( )A.sin2xB.2sinxC.sinxcosxD.co
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