高中数学选修2-2课时练习第二章 章末复习.docx

《高中数学选修2-2课时练习第二章 章末复习.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、章末复习1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即＝.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法

2、则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．题型一　应用导数求切线方程根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1　(2013·福建改编)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

3、y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.跟踪演练1　点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．解　因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像的一个公共点，所以23＋2a＝0①4b＋c＝0②由①得a＝－4.所以f(x)＝x3－4x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，所以f′(2)＝g′(2)，而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8，由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b，所以8＝4b，即b＝2，代入②得到c＝－8.综上所述，a＝－4

4、，b＝2，c＝－8.题型二　求函数的导数求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见．在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如(1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导．(2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算．(3)利用三角恒等变形简化求导过程等等．例2　求函数y＝的导数．解　本题若直接用商的求导法则求导，会非常繁琐，故先化简为幂的多项式再求导是明智之

5、举．因为y＝3－x＋5－9·，所以y′＝3··x－1－9··x－＝－1.跟踪演练2　求y＝(n≠0)的导数．解　从这个函数的结构来看，是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式．∵y＝xm－1＋nxn－1＋，∴y′＝(m－1)xm－2＋n(n－1)xn－2＋·.题型三　导数的综合应用利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．例3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点

6、，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解　设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以

7、AB

8、为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝.∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．跟踪演练3　(1)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.

9、B.C.D．1答案　A解析　∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，∴k＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝×1×＝.(2)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.①求直线l2的方程；②求由直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积．解　①∵y′＝2x＋1，∴直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2

10、b＋1)x－b2－2.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，