高中数学选修2-2课时练习第三章 章末复习.docx

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1、章末复习1．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．2．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)

2、可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．3．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝

3、f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值．题型一　利用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．例1　已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性．解　由

4、题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(

5、x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．跟踪演练1　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)(2)f(x)＝x(x－a)2.解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，

6、x2＝a.①当a>0时，x1x2，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的．综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，单调递减区间为.a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．题型二　利用导数求函数的极值和最值1．利用导

7、数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当

8、f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例2　已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R),(1)若f(x)在x＝2时取得极值