高中数学选修2-2课时练习第二章 4_2.docx

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1、4．2　导数的乘法与除法法则[学习目标]1．理解导数的乘法与除法法则．2．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．[知识链接][f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？试举例说明．答　不一定正确．当f(x)＝2，g(x)＝x2时，[f(x)·g(x)]′＝(2·x2)′＝4x≠2′·(x2)′＝f′(x)·g′(x)，而当f(x)＝2，g(x)＝2时，[f(x)·g(x)]′＝(2·2)′＝4′＝0＝2′×2′＝f′(x)·g′(x)．[预习导引]1．两个函数积的导数(1)符号语言：[f(x)·g(x)

2、]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)文字语言：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．由上面的式子可以得到[cf(x)]′＝cf′(x)．2．两个函数商的导数(1)符号语言：′＝(g(x)≠0)．(2)文字语言：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　利用乘法和除法法则求导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝(2)y＝＋；(3)y＝；(4)y＝1－sin2.＝3x2－＋－.

3、∴y′＝3x2＋－－.(2)∵y＝＋＝＝－2，∴y′＝′＝＝.(3)y′＝′＝′＋′＝＋＝＝.(4)∵y＝1－sin2＝＝(3＋cosx)＝＋cosx，∴y′＝′＝－sinx.规律方法　求较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要，否则将增大计算量甚至导致错误．如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便．跟踪演练1　求下列函数的导数；(1)y＝x·tanx；(2)y＝；(3)y＝xsinx－.解　(1)y′＝(x·tanx)′＝′＝＝＝(2)y′＝＝.(3)y′＝(xsinx)′－′＝sinx＋xcosx－.要点二　导数运算法则的

4、简单应用例2　已知函数y＝，x∈(－π，π)，当y′＝2时，求x的值．解　y′＝()′＝＝＝＝2，所以cosx＝－.又x∈(－π，π)，所以x＝或x＝－.规律方法　应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．跟踪演练2　曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．答案　y＝3x＋1解析　∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3.∴函数f(x)在点(0,1)处

5、的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.要点三　导数的应用例3　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x－2故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法　(1，－1)

6、虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3　已知某运动物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，∴s′(t)＝－＋2·＋4t，∴s′(3)＝－＋＋12＝，即物体在t＝3s时的瞬时速度为m/s..1．设y＝－2exsinx，则y′等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(

7、sinx＋cosx)答案　D解析　y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．函数y＝的导数是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　y′＝′＝＝.3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2答案　A解析　∵y′＝＝，∴k＝y′

8、x＝－1＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案　ln2－1解析　设切点为(x0，y0)，

9、∵y′＝，∴＝，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数