高考理科数学复习练习作业70.doc

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1、专题层级快练(七十)1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，

2、F1F2

3、＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x12＋x22为定值，并求该定值．答案　(1)＋y2＝1　(2)4解析　(1)依题意，c＝，而e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于·＝－，则x1x2＝－4y1y2，x12x22＝16y12y22.而＋y12＝1，＋y22＝1，则1－＝y12，1－＝y22，∴(1－)(1－)＝y1

4、2y22，则(4－x12)(4－x22)＝16y12y22，(4－x12)(4－x22)＝x12x22，展开，得x12＋x22＝4为一定值．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆上一点，∠F1AF2＝60°，且S△F1AF2＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．答案　(1)＋＝1　(2)存在，M(1，0)解析　(1)由e＝可得a2＝4c2，

5、S△F1AF2＝

6、AF1

7、

8、AF2

9、sin60°＝，可得

10、AF1

11、

12、AF2

13、＝4.在△F1AF2中，由余弦定理有

14、F1A

15、2＋

16、F2A

17、2－2

18、AF1

19、

20、AF2

21、cos60°＝4c2，

22、AF1

23、＋

24、AF2

25、＝2a，可得a2－c2＝3，所以a2＝4，c2＝1，则b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，所以4k2＋3－m2＝0，x0＝－，y0＝，P(－，)．由得Q(4，4k＋m)．设在x轴上存在点M，坐标为(x1，0)，则＝(－－x1，)，

26、＝(4－x1，4k＋m)．因为以PQ为直径的圆恒过定点M，所以·＝0.则(4x1－4)＋x12－4x1＋3＝0对于任意的k，m都成立，所以解得x1＝1，故存在定点M(1，0)符合题意．3．(2017·宜春、新余联考)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆E的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．答案　(1)＋y2＝1　(2)定点(0，3)解析　(1)设椭圆C的标准方程

27、为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝，c＝1，故a2＝2，b2＝1，椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0，1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1·x

28、2＝，由kAB·kAC＝·＝，得4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3.所以直线BC恒过一定点(0，3)．4．(2017·湖北宜昌一中月考)中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点R(－，－)，Q(，)．分别过椭圆E的焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4.(1)

29、求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得

30、PM

31、＋

32、PN

33、为定值？若存在，求出M，N的坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．答案　(1)＋＝1　(2)存在点M，N其坐标分别为(0，－1)，(0，1)，使得

34、PM

35、＋

36、PN

37、＝2为定值．解析　(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将R(－，－)，Q(，)代入椭圆方程有解得∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)焦点F1，F2的坐标分别为(－1，0),(1，0)．当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)．当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2.∴l1的方程为y

38、＝m1(x