高考理科数学复习练习作业47.doc

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1、专题层级快练(四十七)1．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为(　　)A．1　　　　　　　　　B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案　D解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)A．1B．2C．3D．0答案　C解析　边数最少的凸n边形是三角形．3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于

2、(　　)A.　　　　　　　　B.＋C.＋D.＋＋答案　D4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)答案　A解析　因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k

3、＋1)．5．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________．答案　解析　c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由归纳推理得cn＝.6．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.答案　略解析　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假

4、设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．7．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝(an＋)．(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．答案　(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－(2)an＝－解析　(1)S1＝a1＝(a1＋)，得a12＝1.∵an>0，∴a1＝1.由S2＝a1＋a2＝(a2＋)，

5、得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.又由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)，得a32＋2a3－1＝0，∴a3＝－.(2)猜想an＝－(n∈N*)．证明：①当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝－，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)，即ak＋1＝(ak＋1＋)－(－＋)＝(ak＋1＋)－，∴ak＋12＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想成立．由①②知，an＝－(n∈N*)．8．已知ai>0(i＝1，2，

6、…，n)，考察：①a1·≥1；②(a1＋a2)(＋)≥4；③(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥9.归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．答案　(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…＋)≥n2解析　结论：(a1＋a2＋…＋an)·(＋＋…＋)≥n2(n∈N*)．证明：①当n＝1时，显然成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即(a1＋a2＋a3＋…＋ak)·(＋＋…＋)≥k2.当n＝k＋1时，(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)·(＋＋…＋＋)＝(a1＋a2＋…＋ak)(＋＋…＋)

7、＋ak＋1(＋＋…＋)＋(a1＋a2＋…＋ak)＋1≥k2＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋1≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即n＝k＋1时命题也成立．由①②可得，不等式对任意正整数n成立．9．(2017·保定模拟)已知f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋，证明：an＜.答案　略证明　(1)当n＝1时，0＜a1＜，不等式an＜成立；因a2＝f(a1)＝－(a1－)2＋≤<，故n＝2时不等式也成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式ak＜成立，因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝，

8、知f(x)在(－∞，]上为增函数，所以由ak＜≤，得f(ak)＜f()．于是有ak＋1＜－·＋－＝－＜.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)、(2)可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立．10．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0