高代竞赛辅导第7章线性空间.doc

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1、七线性空间1.（北京交通大学2003）设求中与可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数和一组基。解注意到。则与可交换当且仅当与可交换。设，由得，且，所以，因此与可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数为5，一组基为，。2.（西安交通大学2004）设，记，求的基和维数。解分析：令，则，于是只需求线性方程组，它的基础解系就是的一组基。得的一个基础解系，，，它就是的一组基，且的维数等于3.3.（天津大学2004）已知，。求及的基和维数。解由知。知。那么有任意，则任意。任意，得，，是的一组基。于是，且显然，所以可取为的一组基。4.（上海交通大学2003）以表

2、示数域F上全体2阶矩阵构成的线性空间，为两两互异的数且它们的和不等于零。证明是的一组基。证明，是的一组基，。令，则，而是的的系数，即。由已知条件为两两互异的数且它们的和不等于零，所以，于是是的一组基。5.（北京大学2002）数域F上的矩阵称为循环矩阵。用表示数域F上全体循环矩阵的集合。证明：是数域F上全体矩阵构成的线性空间的一个子空间，并求的一个基和维数。证明令，注意到的形式及，那么有。若，并记，则，，所以是的一个子空间。注意到线性无关且中的每个矩阵都可以表示成的线性组合，所以是的一组基，。6.（北京师范大学2006）设是数域F上的一个维线性

3、空间，是的两个子空间，且。证明：存在的一个子空间，使得证明若，则，取，结论成立。若，则存在。分别取的一组基，，则不能由线性表出，也不能由线性表出，所以线性无关，线性无关，得两个维子空间，。如果，则取，结论成立。如果，则继续上面过程，存在，使得，。令，结论成立。7.（北京师范大学2007；北京邮电大学2004）设是数域F上的一个维向量空间。证明：（1）的任意一个真子空间都是的若干个维子空间的交。（2）存在的维子空间使得证明（1）设是的任意一个真子空间，若，那么结论显然成立。若，不妨设的一组基为，那么有。将扩充为的一组基，设为。分别记，,,,显然

4、都是的维子空间，且。（2）任取的个线性无关的向量，记，则是的一个维子真空间。任取，则不能由线性表出，且线性无关，从而线性无关，记，则是的一个维子真空间。再任取，，则不能由线性表出，从而线性无关，记，则也是的一个维子真空间。以下验证这样构造的符合题目要求。事实上，，。而，，所以是维的，而是维的，因此成立。8.设是数域F上线性空间的两个非平凡子空间。证明：在中存在向量，使得同时成立。（书上习题）一般情形：（I）（北京大学2002）设是数域F上维线性空间的个非平凡子空间。证明：（1）中至少存在一个向量不属于中的任何一个。（2）存在中的一组基，使得。

5、证明（1）对做数学归纳法。若，结论显然成立。设在时结论成立，那么在个真子空间的情形，由是真子空间，那么。若，那么结论成立。以下考虑的情形。由归纳假设，若，那么结论也成立。因此只需考虑情形：，；，。由，得。由，得。以上表明结论成立。（2）由（1）存在。令，它是的真子空间，那么存在。由知线性无关，于是可取真子空间，依此类推，取真子空间。那么存在。令，由及得。推论依次可得都为零，即线性无关，可构成的一组基，且显然。（II）（南开大学2005）设为数域F上的一个维线性空间。证明：存在中一个无穷的向量序列，使得中的任何个向量都是的一组基。证明任取的一组

6、基，并记，。显然都是的真子空间，由上题结论存在。显然序列中任意个向量都线性无关，构成的一组基。对序列的个数用数学归纳法。设对于时，有满足题目的要求。那么取这个向量中的任何个生成一系列的的真子空间，共个不同的子空间，由上题结论存在。显然序列中任意个向量都线性无关，构成的一组基。以上过程可以无限进行下去，因此存在中的无穷向量序列，使得中的任何个向量都是的一组基。（III）（哈尔滨工业大学2004）设为数域F上的一个维线性空间，，记，。证明：存在的一组基，使得，，。证明是题（I）（2）结论的直接应用。取即可。（IV）（北京理工大学2003）设是维线

7、性空间的个子空间，且有，证明：存在，使得。证明对用数学归纳法。若，结论显然成立。假设对结论成立，那么在时，若，那么由归纳假设结论成立；若，显然结论也成立。于是只需考虑且的情况。利用反证法。若对都有。由条件知存在使得，，。考虑空间，显然有。注意到由条件知。若，由归纳假设存在，使得。而由可得，那么有，与矛盾。所以必有，此结论与一起得，这显然与条件相矛盾。于是必有某个，使得。9.设是数域F上全体维向量构成的线性空间。证明：的任一子空间必是某个元齐次线性方程组的解空间。证明设子空间的维数为。若，则，于是是线性方程组的解空间；若，则，任取一个阶可逆矩阵

8、，是线性方程组的解空间。以下设。任取的一组基，。则齐次线性方程组（1）的基础解系含有个向量，任取（1）的一个基础解系，，则每个都是（1）的解，相当于每个都是以下齐次