高数竞赛辅导课件.ppt

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1、一、求极限问题函数极限数列极限◆L-Hospital法则◆Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆等价无穷小替换及Taylor公式◆两个重要极限◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆利用定积分的概念◆利用收敛级数的性质◆Stolz定理第一讲极限与连续极限的求法1.利用极限的运算性质方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、无穷小的运算法则。2.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：3.利用重要极限两个重要极限提示：注意到●原式4.利用洛必达法则方法

2、：先化简（初等变换、等价无穷小替换、非零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则解法一：原极限解法二：先求:原极限注：数列极限利用函数极限来求例7已知(x)为连续函数，求常用的带Peano型余项Taylor公式5.利用泰勒公式常见的等价无穷小替换难点：Taylor公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件●●原式掌握等价无穷小替换与Taylor公式的使用●另一方面原式●原式6.利用左右极限一般分段函数求趋于分段点的极限用左右极限，特别含有以下几个极限也用左右极限例1求解:原式=1注意此项含绝对值●分析：利用重要极限可知7、利用导数的定义、微分中值定理等●利用Lagrange中值定理

3、知故原式8、Heine原理●故原式●故原式先取对数洛必达法则9、Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则求（解：=8.利用夹逼准则(1).一般的放缩例3．求解(2).对积分型极限利用积分的性质放缩例4．求解：(3).进行初等变形后再用夹逼定理解：●由Stolz定理的推论9.递归数列极限的求法证明单调有界方法：1）、归纳法2）、利用函数解解10.利用定积分的定义利用特别解11利用收敛级数的性质级数收敛的必要条件:●提示：考虑级数利用比值判别法可知该级数收敛二、由极限值确定参数解2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=又由～,得解:解:，在0的某邻域有二阶连续导数，

4、且在x=0处解:由题设及洛必达法则解:三、无穷小的比较、无穷小阶的估计方法：无穷小比较实质是求极限。无穷小阶的估计最好的方法利用泰勒展开式。●提示：四、函数的连续与间断1、判别函数连续的方法；（1）用定义。（2）、初等函数的连续性。2、间断点类型的判别实质是求极限解.其中x=0为跳跃间断点,x=-1x=-2,-3,…….为无穷间断点.例2解一、（10分）求下列极限法一：法二：故原式先取对数洛必达法则