《理学高数辅导》ppt课件

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1、高数辅导高等数学函数与极限导数积分级数Ⅰ.函数与极限一.函数对应关系,定义域,值域,初等函数,复合函数,反函数例1y=定义域:x≥0值域:0≤y<1反函数:x=-ln(1-y2),0≤y<1例2f(x)=,g(x)=x2+1f--1(x)=f(x)f(g(x))=,g(f(x))=函数的特性1°有界性上界f(x)≤M下界f(x)≥M有界∣f(x)∣≤M2°单调性3°奇偶性4°周期性二.极限1.定义数列的极限ε—N函数的极限ε—X(x→-∞,x→∞),ε—δ左极限,右极限2.无穷小量与无穷大量无穷小量:limα(x)=0无穷大量:极限不存在的一种情况X(x)是无穷大量当且仅当1/X(

2、x)是无穷小量limf(x)=A当且仅当α(x)=f(x)-A是无穷小量无穷小量的比较:高阶无穷小β=o(α):低阶无穷小:同阶无穷小:等价无穷小:例3当x→0时,x,sinx,1-cosx,ex-1,ln(1+x)都是无穷小sinx~xex-1~x3.两个重要极限4.性质1°数列收敛必有界2°如果limf(x)=A,limg(x)=B,则lim(f(x)+g(x))=A+B,lim(f(x)-g(x))=A-B,lim(f(x)g(x))=AB,lim(f(x)/g(x))=A/B,B≠0如果且在x0的某个邻域0<∣x-x0∣<δ内g(x)≠a,则3°收敛准则夹逼准则如果yn≤x

3、n≤zn(n=1,2,…)且，则单调有界数列必有极限三.连续性和间断点1.连续性1°在x0处连续左连续,右连续2°初等函数在定义域内连续3°闭区间上连续函数的性质①必取到最大值和最小值推论:必有界②介值定理2.间断点3种情况1°f(x0)没有定义2°不存在3°第一类间断点:左,右极限存在可去间断点:存在,但≠f(x0)(含f(x0)没有定义)例x=0是第一类间断点x=0是可去间断点令第二类间断点无穷间断点,在x=0处震荡间断点,在x=0处Ⅱ.导数一.定义1.导数,2.高阶导数,可导必连续,反之不真.例如,y=∣x∣,在x=0处连续,但不可导.二.导数计算基本初等函数的导数,2.和、

4、差、积、商的求导公式3.复合函数求导公式设y=f(u),u=g(x),y=F(x)=f(g(x)),则4.反函数求导公式设y=f(u)的反函数x=g(y)则5．隐函数求导设y=y(x)由F(x,y)=0确定，例ey+xy=1解eyy′+y+xy′=0y′=6.参数方程求导例1.(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx2.3.(sin2x)′=2cos2x4.(e-x)′=-ex例2设xy=ex+y,求解y+xy′=ex+y(1+y′)y′=例3设求,解三.微分dy=Δy的线性主部:Δy=AΔx+o(Δx),A=微分形式不变性dy=四.中值定理与泰勒公式1.罗尔定理设f(x)在

5、[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则存在a<ξ

6、线方程2.洛必达法则型,型的极限例3.函数的单调性蕴涵f(x)单调增加蕴涵f(x)单调减少但反过来可能=例证明：当x>0时，证一令f(0)=0,故当x>0时，f(x)>f(0)=0,即证二取f(x)=4.曲线的凹凸与拐点凹的:切线斜率单调增加凸的:切线斜率单调减少蕴涵凸的蕴涵凹的拐点:凸凹的分界点拐点的必要条件:5.极值极大值:存在δ>0,对所有的0<∣x-x0∣<δ,都有f(x)0,对所有的0<∣x-x0∣<δ,都有f(x)>f(x0)必要条件:设f(x)在x0处可导，若x0是极值点,则,即x0是驻点.充分条件1且在x0的两边异号,则x0是极值点.当x

7、从左到右通过x0时,由正变负,则x0是极大值点;由负变正,则x0是极小值点充分条件2若且,则x0是极值点.当时,x0是极大值点.当时,x0是极小值点.6.最大值与最小值在[a,b]上取到最大值、最小值的可能点:驻点,不可导点,边界点7.渐近线水平渐近线:渐近线y=A垂直渐近线:渐近线y=x0斜渐近线:y=ax+b,其中Ⅲ.积分一.不定积分1.概念原函数:不定积分:原函数的全体2.性质3.基本积分公式4.换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)设则例第二类换元积分法例5.