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《高代竞赛辅导第4线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、线性方程组1•(北京大学2007)把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，b=•这里的是互不相同的素数.判断向量组1,诉，妒，…,矿是否线性相关？说明理由.解1,诉，妒，…，沪不是线性相关的，而是线性无关的。理由如下：反证法。假如1,丽,•，阿线性相关，则存在一组不全为0的有理数k},k2,---,kn使得kx+k2>fb+k3l^HknVb"~l=0,这表明是有理数域Q上的1次多项式々+k2x+k3x2+・・・+&/"」=0的一个根。另一方面咖又是“次有理系数多项式xn-b=0的根，且由Eisenste
2、in判别法知兀“"在有理数域上不可约这里取P(x)=Z-b,(取素数r)o而一个不可约多项式p(x)与任何一个多项式/(x)之间:要么p(x)与/(X)互素，要么p(x)整除/Wo=k、+k2x+k3x2-knxn1,显然p(x)不整除f(x),另外p(x)与f(x)有公共根臥因此0(x)与/(X)不互素，这样总有矛盾。所以1,丽，妒，…,戸线性无关。1.(i)(北京航空航天大学2003)若向量002,他线性无关，证明0+©202+”3,+a也线性无关;(ii)(东南大学2002)判断对错：若向量es
3、aa线性无关，则ax+a2.a2+a^a3+a4.aA+ax的秩为3；(iii)(清华大学2006)设00，是一组线性无关的向量，那么ocx+a2,a2+©3‘一1+as>as+0是否线性无关?证明之。(iv)(中国科学院2006；中山大学20004)若向量组久如…,％G>2)线性无关,讨论向量组ax+a2,a2+a^^as_x+as.as+ax的线性相关性。解令£]($+。2)+*2(。2+。3)心_1(%_1+%•)+&(%+0)=0,整理得伙]+k)(X+(k、+k2)6Z2t卜(ks_+k)(
4、Xs=0o由…,％线性无关得/+應=0,心+禺=0'・・・，—1+&=0,即(10...1]Co]11…0k.0■■■••••••••1b■■&丿■■9其系数矩阵4的行列式
5、4
6、=l+（-1）曲。当S为偶数时>
7、A
8、=0,方程组有非零解，这时少+闵心+他'…,％一】+%，%+41线性相关。当s为奇数时,
9、A
10、=0,方程组只有零解，这时0+闵,希+。3,…,％一
11、+%，%+0线性无关。2.（中山大学，2003）设4X"为四元非齐次线性方程组，矩阵4的秩为3,已知西,兀2，可是它的三个解向量，且兀1=（4丄翻
12、）7；兀2+兀3=（1，°，1，2）7',试求线性方程组的通解。解兀2，兀3是AX=b的两个解，则兵+吕=（*，°，*，1）t也是AX=b的解,从而（
13、1>71X1-~x2+2%3=^2^~2^T是导出组的解。由A的秩为3知，导出组的基础解系由一个向量组成，于是线性方程组的通解为（71丫兀=（4丄0,2）丁+£牙丄-亍1,其中k为任意常数。"2丿3•（东南大学2000；西安交通大学2005）讨论为何值时，以下方程组有唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求岀其通解。Xj+x2+x3+x4=0x2+2*3
14、+2x4=1V-+(a—3)x3_2兀4=h3%j+2x2+x3+ax4=-1解这是一类标准题型，这里仅举此一例。<11110、<10-1-1〜0122101221增广矩阵A二0-1Q—3-2bT00Cl—10b+<321a一1丿<000ci—1°丿于是当QHl时，方程组有唯一的解;当0=1且bH-1时方程组无解;当0=1且b=-时方程组有无穷多解。这时01221增广矩阵AT00000,00000<-r<1、<1]1-2-2X-+k、+011023丿可得通解为注意：化增广矩阵为阶梯型矩阵的办法特别适合
15、方程个数与未知变元的个数不相等的情形，当方程个数与未知变元的个数相等时还可以用行列式的方法。有唯一解、有无穷4.（上海交通大学2005）下面的〃元线性方程组何时无解、多解？有解时求出全部解。/a1■•1a■…1、…1••••/X,厶•■■、1•1••…a丿■/ra1…1、ax1■a■…1••a2■J1•…aT/解A=/、axa2ci+(n—1)•…a+(zz_1)//、1=1a9假定a^-(n-l)，得At11・•・10a—1…0••••••••/=1d+(〃一1)nnI*■tz+(n-1)■■00…ci
16、—1aH"d+G—l)显然，当QH1且a^-(n-l)时，方程组有唯一解，解为工qn(d+〃_l)勺-工q无二_i±iy:耳_d+(72—1)j=2(a_])(d+n_l)fl(a—1)(q+/?—1)(a+/?_l)。?-〉[c”x2一/=1Fl(a+n-l)af]-工yY_f=l(a—l)(d+〃一1)当Q=1时，若要有解，必须r(A)=r(A),此时/?nEaiEai—=••-=an=0,6/+(72-1)6Z+(〃一l
