高数辅导讲义(4)

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1、最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息第三章一元函数积分学§3．1不定积分甲内容要点一．基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数和在区间上有定义，若在区间上成立，则称为在区间上的原函数，在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分，记以。其中称为积分号，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。2．不定积分的性质设，其中为的一个原函数，为任意常数。则（1）或（2）或（3）（4）3．原函数的存在性设在区间上连续，则在区间上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如，

2、，，，，等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息二．基本积分公式1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息三

3、．换元积分法和分部积分法1．第一换元积分法（凑微分法）设，又可导，则这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）2．第二换元积分法设可导，且，若，则其中为的反函数。第二换

4、元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：第一类：被积函数是与或与或由构成的代数式的根式，例如等。只要令根式，解出已经不再有根式，那么就作这种变量替换即可。第二类：被积函数含有，如果仍令解出仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将时先化为，时，先化为然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转

5、载请保留本信息值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简单。例1．例2．例3．3．分部积分法设，均有连续的导数，则最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息或使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。（1），，情形，为次多项式，为常数，要进行次分部积分法，每次均取，，为；多项式部分为。（2），，情形，为次多项式取为，而，，为，用分部积分法一

6、次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（3），情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和凑成。乙典型例题一．直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。例1．求解：原式例2．求下列不定积分（1）（2）（3）（4）最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保

7、留本信息例3．求例4．求下列不定积分（1）（2）例5．求下列不定积分（1）（2）（3）（4）分析：三角函数中的倍角公式，在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。上述四个题都是用倍角公式进行化简，再用基本积分公式积分。二．第一换元积分法例1．求下列不定积分（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息（3）原式（4）原式令，，；令，，；令，，。因此，原式例

8、2．求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）例3．求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）分析：这四个题中均含有，而，因而可以用凑微分的方法积分。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新