高数辅导讲义.doc

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1、第五章向量代数与空间解读几何<数学一）§5．1向量代数甲内容要点一．空间直角坐标系从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。b5E2RGbCAP1．两点间距离设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为2．中点公式设为，联线的中点，则二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。p1EanqFDP

2、w模为的向量称为单位向量。2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为DXDiTa9E3d11/11称之为向量的坐标表达式，也可以表示为称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投影。记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则方向余弦间满足关系描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。向量同方向上的单位向量常记为。三．向量的运算11/111．加法。减法。2．

3、数乘。<是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3．数量积。其中为向量间夹角为数量也称点乘。表示向量在向量上的投影，即4．向量积也称为叉乘。的方向按右手法则垂直于所在平面，且是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。11/115．混合积：定义，坐标公式几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。四．两向量间的关系设关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行乙典型例题例．设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于<）。

4、应选

5、过点，其法向量，则平面的方程为或其中3．一般式方程其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于轴的平面。，平行平面的平面。表示平面。4．三点式方程设，，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为11/115．平面束设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。6．有关平面的问题两平面为与间夹角垂直条件平行条件重合条件设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：三．直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2．直线的标准方程<对称式方

6、程）。其中为直线上的点，为直线的方向数。3．参数式方程11/11为参变量。4．两点式设，为不同的两点，则通过和的直线方程为5．一般式方程<作为两平面的交线）：，方向向量6．有关直线的问题两直线为与间夹角垂直条件平行条件四．平面与直线相互关系平面的方程为：直线的方程为：11/11与间夹角<）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上乙典型例题例1．已知直线，若平面过点且与垂直，求平面的方程。分析：由题意可知，直线的方向向量必定平行于所求平面的法线向量，因此可取利用平面的点法式方程可知即为所求平面方程。或写为一般式方程。例2．设平面过点且与平面平行，

7、则平面的方程为________。例3．通过点且与直线：，，垂直的平面方程为________。例4．求点到平面的距离。例5．试确定过，及三点的平面方程。例6．求通过坐标原点且垂直于直线的平面方程。例7．求通过点且垂直于两平面：和的平面方程。11/11§5．3曲面与空间曲线甲内容要点一．曲面方程1．一般方程2．参数方程<平面区域）二．空间曲线方程1．一般方程2．参数方程三．常见的曲面方程1．球面方程设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即2．旋转曲面的方程<1）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来<点是

8、圆心）。5PCzVD7HxA由得旋转面方程是11/11或由参数方程，，，得旋转面的参数方程，<2）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程第一