高数辅导讲义5

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1、最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息第五章向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1向量代数甲内容要点一．空间直角坐标系从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。1．两点间距离设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为2．中点公式设为，联线的中点，则二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系

2、，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息的长度叫做模，记为。模为的向量称为单位向量。2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为称之为向量的坐标表达式，也可以表示为称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为

3、向量在轴，轴，轴上的投影。记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则方向余弦间满足关系描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。向量同方向上的单位向量常记为。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息三．向量的运算1．加法。减法。2．数乘。（是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3．数量积。其中为向

4、量间夹角为数量也称点乘。表示向量在向量上的投影，即4．向量积也称为叉乘。的方向按右手法则垂直于所在平面，且最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。5．混合积：定义，坐标公式几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。四．两向量间的关系设关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行乙典型例题例．设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，

5、则等于（）。（A）（B）（C）（D）分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果垂直于向量，因此应有即最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息由于为非零向量，因而应有，故应选（B）。§5．2平面与直线甲内容要点一．空间解析几何1．空间解析几何研究的基本问题（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。（2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所

6、表示的曲面（线）。2．距离公式空间两点与间的距离为3．定比分点公式是的分点：，点的坐标为，则当为中点时，二．平面及其方程1．法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2．点法式方程已知平面过点，其法向量，则平面的方程为或最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站

7、转载请保留本信息其中3．一般式方程其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于轴的平面。，平行平面的平面。表示平面。4．三点式方程设，，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为5．平面束设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。6．有关平面的问题两平面为与间夹角垂直条件平行条件最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息重

8、合条件设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：三．直线及其方程1．方向向量、方向数与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2．直线的标准方程（对称式方程）。其中为直线上的点，为直线的方向数。3．参数式方程为参变量。4．两点式设，为不同的两点，则通过和的直线方程为5．一般式方程（作为两平面的交线）：，方向向量6．有关直线的问题两直线为最新下载(NewDown.com.cn)中