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1、高代竞赛辅导第10章-空间解析几何————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一.向量代数1.数量积（内积）：是之间的夹角。2.向量积（外积）：构成右手系。3.坐标表示：，，其中，，。4.几何意义：代表以为邻边的平行四边形的面积；平面上三点,,构成的三角形的面积为的绝对值也可以写成的绝对值。5.混合积：。注意：6.坐标表示：,其中，，,。7.几何意义：的绝对值表示以为三条邻边的平行六面体的体积。共面的充要条件是。空间不共面的四点,,,构成的四面体的体积
2、为的绝对值。（它实际是以为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1.用向量方法证明:三角形三条边上的高交于一点.证明设三条边上的高分别为（如图）。要证交于一点，只需证与的交点也在上，即证垂直于就行。在平面上取定一点，因为，所以即。（1）同理，因为，所以即。（2）（1）,（2）两式相加得，即，所以，即也在上例2．设P是球内一定点，A，B，C是球面上三个动点..以PA，PB，PC为棱作平行六面体，记与P相对的顶点为Q，求Q点的轨迹.（见北京大学2007考研题）二．直线与平面方程有关知识补充:1.不在一条直线上的三点的平面等价于共面。2.二条直线,共面；
3、于是与异面。另外：与相交3.点到平面的距离；4.点到直线（过点，方向向量为）的距离5.两条异面直线的公垂线方程两条异面直线,的公垂线可以看作是过的平面与过的平面的交线，即写成分量的形式为此处，。6．两条异面直线之间的距离:等于在上的投影，即。例1.直线L的方程为：问系数要满足什么条件，才能使得直线：（1）过原点；（2）平行于x轴，但不与x轴重合；（3）与y轴相交；（4）与z轴重合。（见北京大学2007考研题）例2．已知二直线，（1）说明它们异面；(2)求它们的公垂线方程；（3）求它们之间的距离。解（1），所以异面。（2）,公垂线方程为，即。（3）
4、距离为。同类型题：求直线和直线的公垂线的方程及两条直线之间的距离.解：先将给定的直线及的一般方程转化成对称式方程再按第二题的做法。答案：例3.平面通过两直线和的公垂线，且平行于向量，求此平面的方程解，。设与的交点分别为，则，。，解得，，所求平面方程为，即。例4.一直线过点，与平面平行，且和直线相交，求此直线方程。解不妨设直线方程为，其中待定。。（1）与相交与共面。（2）由（1）和（2）得，代入的方程得。例5.已知曲面与某一平面的交线的对称中心在坐标原点，求该平面方程。解已知平面经过原点，若平面为，则该曲线关于原点不对称，故不为所求；同样，都不为所
5、求。设所求平面方程为：（也可以）。将代入原曲面方程，得即。它关于原点对称相当于用代替不变，这只需要一次项的系数为0，即，得所求平面方程为：。例6．已知椭球面，试求过轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。解平面过轴，从而过原点，得。设法向量，由平面过轴得与垂直，得，平面方程：。又与都不符合题意，所以。不妨令，它与椭球面的交线为（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点，故该圆的方程也可表示为(2)比较（1）和（2）得，所求平面方程为：。三．曲线族形成的曲面1.柱面方程给定准线,母线方向，有,消去即为所求柱面。2.直圆柱面方程把与一条定直线的距离是一个定常
6、数的空间动点的轨迹称为直圆柱面，定直线叫做直圆柱面的轴，定常数叫做直圆柱面的半径。如果轴的方程为直线，半径为，则直圆柱面的方程为，其中。例1.（15分）求经过三条平行直线，，的圆柱面的方程.（北京市09年数学专业竞赛题）3.锥面方程：给定准线,定点，有,消去即为所求锥面。4.直圆锥面方程：空间动点到一条定直线上的定点的连线与该定直线的夹角成定角，这样的动点的轨迹称为直圆锥面，定直线和它上面的定点分别叫做直圆锥面的轴和顶点，定角（锐角）叫做直圆锥面的半顶角。如果轴的方程为直线，为顶点，为半顶角，则直圆锥面的方程为。例2.已知两条直线，。（1）问：参
7、数满足什么条件时，与是异面直线？（2）当与不重合时，求绕旋转所生成的旋转曲面的方程，并指出曲面的类型。（09年首届全国大学生数学专业竞赛题）解（1），，，所以当且时，与是异面直线。（2）与不重合意味着不能同时有，于是当时，与平行不重合，此时绕旋转所生成的旋转曲面为直圆柱面，其方程满足化简整理得。当时，，此时与相交于原点，绕旋转所生成的旋转曲面为直圆锥面，方程满足，化简整理得。5.旋转曲面：给定母线C：,它绕直线旋转的曲面，相当于以为球心长为半径的球面，与过以为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面，从而有,消去即为所求旋转曲面。特别，当定直线L为坐
8、标轴，如z轴时，取a=b=c=0,,此时，后两个方程变为：，即，再由前两个方程（指，）将用表示，即得所求旋转曲面。例1.求直线绕直线旋转
