空间解析几何数学竞赛辅导

《空间解析几何数学竞赛辅导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、空间解析几何数学竞赛辅导一.向量代数1、已知空间中任意两点和，则向量2、已知向量、，则（1）向量的模为（2）（3）3、向量的内积（1）（2）其中为向量的夹角，且注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积（遵循右手原则，且、）（1）（2）（3）几何意义：代表以为邻边的平行四边形的面积；29平面上三点,,构成的三角形的面积为的绝对值也可以写成的绝对值。5.混合积：。(1)注意：(2)坐标表示：,其中，，,。(3)几何意义：的绝对值表示以为三条邻边的平行六面体的体积。共面的充要条

2、件是。空间不共面的四点,,,构成的四面体的体积为29的绝对值。（它实际是以为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1设径矢,,,证明垂直于ABC平面.证明:由于=×[]==,所以.同理可证.所以^平面ABC.例2．设P是球内一定点，A，B，C是球面上三个动点..以PA，PB，PC为棱作平行六面体，记与P相对的顶点为Q，求Q点的轨迹.（见北京大学2007考研题）29二．直线与平面方程(一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点，且法向量为，则平面方程为注意：法向量为垂直于平面2、平面的一般方程，其中法向量为3、求平面方程的主要

3、方法（1）过直线的平面方程可设为如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（1）在过直线的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。（2）平面过轴，且与平面的夹角为，求该平面方程29（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点和直线的平面方程（4）过直线作平面，使它平行于直线(5)过平面和的交线作切于球面的平面（6）求由平面所构成的两面角的平分面方程（2）利用点法式求平面方程注意：（i）任何垂直于平面的向量均可作为平面的法向量（ii）和平面平行的平面可设为（iii）如存在两个向量、和平面平行（

4、或在平面内），则平面的法向量为例1（1）已知两直线为，，求过两直线的平面方程（2）求过和两点，且垂直于平面的平面（3）一平面垂直于向量且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面与一通过球心且与直线垂直的平面相交，求它们的交线在面上的投影29例2．已知椭球面，试求过轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。解平面过轴，从而过原点，得。设法向量，由平面过轴得与垂直，得，平面方程：。又与都不符合题意，所以。不妨令，它与椭球面的交线为（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点，故该圆的方程也可表示为(2)比较（1）和（2）得，

5、所求平面方程为：。29(3)轨迹法求方程方法：（i）设平面上任一一点（ii）列出含有的方程化简的平面方程例求由平面和所构成的二面角的平分面的方程（二）、直线1、直线的对称式方程过点且方向向量为直线方程注意：方向向量和直线平行2、直线的一般方程，注意该直线为平面和的交线3、直线的参数方程4、求直线方程的主要方法(1)把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为，则该直线的方向向量为29在直线上任取一点，则直线方程为例化直线的一般方程为标准方程(2)根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点，且平行于两相交平面和的直线方程

6、（2求过点，且与直线平行的直线方程（3）求过点，且与平面平行，又与直线垂直的直线方程注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量(3)利用直线和直线的位置关系求直线方程注意：（1）两直线平行，则，其中和为直线的方向向量（2）两直线和相交，则且（3）两直线和29异面，其中公垂线的方向向量为，则两异面直线的距离为；公垂线方程为例（1）求通过点且与两直线和都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为，已知两直线的方向向量为、，且分别过点、则，即；，即故，故所求直线为（2）已

7、知两异面直线和，求它们的距离与公垂线方程（3）求与直线平行且与下列两直线相交的直线和（4）求过点与轴相交，且与已知直线垂直的直线方程（三）有关知识补充:291.不在一条直线上的三点的平面等价于共面。2.二条直线,共面；于是与异面。另外：与相交3.点到平面的距离；4.点到直线（过点，方向向量为）的距离295.两条异面直线的公垂线方程两条异面直线,的公垂线可以看作是过的平面与过的平面的交线，即写成分量的形式为此处，。6．两条异面直线之间的距离:等于在上的投影，即。例1.直线L的方程为：问系数要满足什么条件，才能使得直线：29（

8、1）过原点；（2）平行于x轴，但不与x轴重合；（3）与y轴相交；（4）与z轴重合。（见北京大学2007考研题）例2．已知二直线，（1）说明它们异面；(2)求它们的公垂线方程；（3）求它们之间的距离。解（1），所以异面。（2）,公垂线方程为29，即。（3）距离为。同类型题：求直线和直线的公垂线的方程及两条