线性代数与空间解析几何考研辅导教程

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1、第一章行列式1．计算解：.2．计算解：方法一.方法二.·143·3．计算解：.4．计算解：行列式按第1列展开，有.5．计算解：.·143·6．计算解：.7．计算解：.·143·8．计算解：.9．计算阶行列式解：10．计算解：.·143·11．计算解：按第一行展开得到递推公式由于，于是得容易推出.12．证明证：·143·当时，；当时，，，结论成立.假设时，，往证时也成立所以.由数学归纳法结论成立.13．计算解：由·143·有所以，，，.容易得到：于是.14．计算解：方法一.·143·方法二.15．计算解：.16．计算解

2、：·143·（1）又（2）（1）（2）而时.17．证明：其中为右边第一个行列式中元素的代数余子式.证：·143·18．计算解：因为所以.19．证明阶行列式·143·解：20．计算解：方法一而时时·143·.方法二21．计算解：·143·22．计算解：根据范德蒙行列式计算公式23．计算解：行列式按第一列展开，得到24．计算解：方法一行列式按第一列展开.方法二当时，化为三角形行列式，即·143·若时，直接计算可知，25．计算解：26．计算·143·解：27．计算解：当且时，当或时,.·143·28．解方程组，其中，且互不

3、相同.解：解法一因互不相同,知那么方程有唯一解，显然所以.解法二因·143·……由克莱姆法则，方程解唯一，为即.29．设曲线经过点，求.解：由题中条件知（*）解法一所以，方程组（*）解唯一.·143·由克莱姆法则.解法二·143·所以，，，.30．设为奇数阶反对称阵（即），则.解：设的阶数为，为奇数由，有所以.31．设，证明：存在，使得.证：显然在上可微又由由罗尔定理，使得.32．设求.解：·143·于是33．解方程解：所以或.34．计算阶行列式·143·解：35．计算阶行列式其中解法一：按第1行展开（或按第1列展开

4、）得解法二：设，对的第列乘加到第1列上去得上三角形行列式·143·.36．计算阶行列式解法一：按第1行展开得到·143·于是解法二：按第列展开得反复应用递推公式得……37．计算解：将按第一行展开上式右端的两个行列式均按最后一行展开，得·143·利用上述递推公式，可得，而，所以.38．计算解法一：把行列式增加一行，增加一列变成一个与等值的阶行列式将第1行元素分别乘加到第2行，第3行，…，第行上去，得·143·将列分别乘加到第1列上去，得上三角形行列式解法二：将第列视为两项和，把拆成两个行列式的和，可得递推公式在第一个行

5、列式中，将第列分别乘以，依次加到和1列，第2列，…，第列，得三角形行列式，故即反复运用此递推公式得·143·.39．计算阶行列式解：40．计算其中.解：把第1行的倍分别加到，第行，得·143·当时，再把第列的倍加到第1列，就把化成了上三角行列式当时，显然有，所以总有.41．计算行列式解：·143·第二章矩阵1．求矩阵的逆（1）解：则.·143·（2）解：则.（3）·143·解：.2．求方阵的次幂（1）解：其中：，有则.（2）解：用数学归纳法证明当时，显然成立；假设当时，有，则当时，有则结论成立.3．设，求.·143·

6、解：由于，所以又由于所以4．设，矩阵满足，求.解：由于，得又由于，所以，即.5．已知为3阶方阵满足，（1）证明可逆，并求·143·；（2）若，求矩阵.解：（1）由于，所以，即于是，故可逆且.（2）由于，所以，于是又由于，有于是.6．求矩阵的秩（1）解：于是，（2）解：·143·7．设为三阶方阵且，其中，求.解：由于，所以可逆又由于，即，则于是.8．设三阶方阵满足，其中，求.解：由于，所以由，有,即,得又由于，所以.于是.9．设为阶方阵，为阶可逆阵.证明：.证：设，由于，则进一步，.10．设为阶方阵，证明：不存在矩阵，

7、使.证：由第九题，知，而但.故不存在矩阵，使.11．设均为阶方阵，为中元素的代数余子式，且.证明：；当时，如果为实矩阵，则.证：由，有，即.由第九题，知，即的主对角线元素的和一定是0，即而故.进一步，由行列式展开定理，则·143·当时，有.由于，又由于为实矩阵，所以，即.12．为阶非零实阵，为中元素的代数余子式，则有下列结论（i）且；（ii）且.证：（i）当时，有，则于是，由于，因此且.反之，若且，由于.于是，且可逆.因此，即.（ii）当时，有，则于是，.由于，因此且.反之，若且，由于.于是，且可逆.因此，即.13．

8、为阶方阵，对任意向量均有解，则对任意向量，均有惟一解.证：由于对任意向量均有解，故，即.而.即因此，由Cramer法则，有惟一解.14．若阶方阵满足且，则.证：由于，所以.又由于，因此，.于是，故.15．设为阶方阵，且，则.证：.故·143·16．设为阶方阵，，则.证：由于所以，.17．设均为对称阵，对任意向量，均有，则.证：取，.由于，所以.