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1、习题4.11.设，求.解：.2.设，求向量，其中,.解:由，可得3.设，，问是不是向量空间？为什么？解：.习题4.21.已知向量，用的线性组合来表示.解：设解方程组可得.2.已知向量,，试把表示成的线性组合.解：设即，此方程组有唯一解，故.3.找出下面的四个向量中哪个不能由其余三个向量线性表示：.79解：,不能.4.设向量组，(1)取何值时，向量是向量的线性组合，并写出时的表达式；(2)取何值时，向量不能由线性表示.解：，(1);(2).5.证与等价，已知,,.证以,,,分别作矩阵与，因其中，因此,与等价
2、，,与等价，由等价的传递性可知,与,等价.6.设.如果向量组线性无关，求实数的取值范围.解：设，则由可知时无关.7.讨论下列向量组的线性相关性.79(1)；(2).解：(1)不论取何值，都无关;(2)相关，无关.8.设向量是由个维向量组成，如果对任何一组不全为零的数，都有,那么是否一定线性无关？解：不一定.因为根据定义，只要存在一组不全为零的数就行.9.设，证明向量组线性相关.证：设有使得,即，即.(1)若相关，则存在不全为零的数且，由不全为0知不全为0，即线性相关.(2)若线性无关，则，即，由知方程组有
3、非零解，即线性相关.10.若向量组线性无关，而,试证线性无关.证设，即，79由于线性无关，则，此方程组只有零解.故线性无关.习题4.31.证明向量组与向量组有相同的秩的充要条件是可由向量组线性表示.证证法一充分性若可由线性表示，则与等价，从而有相同的秩.必要性因与有相同的秩，若设，，则与经初等变换后有相同的非零列数，因此可由线性表示.证法二设，，且与有相同的秩，与相同的解，所以有唯一解，所以，即可由线性表示.2.设，证明向量组与向量组有相同的秩.解由已知条件，可由线性表示，且，即可由线性表示，所以等价.3
4、.求下列向量组的秩及一个极大线性无关组：(1)；(2),.解(1)线性无关，且，故向量组的秩为2，而且是一个极大无关组.79(2)的前3个向量构成的矩阵，则，故线性无关，令，它有非零解，故相关，同理证相关.4.设都是阶方阵，且是可逆的，若的秩是，的秩是，证明.证由的秩不大于或的秩，得，又,得，故.5.若向量组的秩为，则中任意个线性无关的向量都可以作为它的一个极大线性无关组.证设(1)是中任意个线性无关的向量，由于向量组的秩为，故原向量组中任何多于个向量的向量组必线性相关，所以线性相关，从而(1)为原向量组
5、的极大线性无关组.6.设是矩阵，是矩阵，并设的秩为，的秩为，的秩为，证明.证设，，令表示的行向量，表示的行向量，则，故.令表示的列向量，表示的列向量，则，因此，即.习题4.41.证明由所生成的向量空间就是.79证设，则，于是，则无关，为3维，秩为3，所以为基，故由生成的向量空间是.2.在中，,,，求由生成的子空间的维数和一组基.解，可知是极大无关组，维数为3，即为基.3.在中取两组基：I与II(1)求I到II的过渡矩阵，并写出基变换公式；(2)写出对应的坐标变换公式，并求出向量在基II下的坐标；(3)求在
6、基I和基II下的坐标相同的所有向量.解(1)过渡矩阵，基变换公式(2)坐标变换公式，在基II下的坐标是.(3).4.判断下列方程组是否有非零解：79(1)(2)(3)解(1)，则，方程组只有唯一解，即零解，所以无非零解；(2)方程组未知量个数，方程个数，因为，所以方程组有非零解；(3)，故，所以方程组有非零解.5.试求齐次线性方程组的解空间的维数和一组基.解,,基础解系含有3个解向量，求出一组基即可.6.求下列齐次线性方程组的通解：(1)(2)解(1),得一般解79为自由未知量.(2),得一般解,为自由未
7、知量.7.设，求一个阶矩阵，使，且.解因为故得基础解系.矩阵满足，且.8.求一个齐次线性方程组，使它的基础解为.79解设为所求，，不妨设，由可得，则得，取.同理可取，则，对应方程组.9.设齐次方程组的系数矩阵行列式，是中的元素的代数余子式，证明是方程组的一个解.证因为且，所以将代入方程组的每个方程都适合，故是一个解.习题4.51.求解下列非求齐次线性方程组：79(1)(2)(3)(4)解(1)时，通解；时，无解；(2)方程组的解为(为自由未知量)；(3)因为,故可得，为自由未知量；(4)，则79，通解为.
8、2.设有三张不同平面的方程，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，证明这三张平面交于一条直线.证由于线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，所以该方程组有通解，其中是(1)对应的齐次方程组的基础解(不全为0)，是(1)的特解，此通解是直线的参数方程，将其化为对称式方程得.故这三张平面交于一条直线.3.设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解，证明(1)线性无关；(2)线性无关.证
