高代竞赛辅导第7章线性空间

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1、七线性空间1.（北京交通大学2003）设01ro0=/+0求F3x3中与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数和一组基。10注意到0131abc则B与人可交换当且仅当B与K可交换。设〃二def9由BK=KB得ghiIg=~3ct+9b—d+3e+3h2/=°'且心0”3b+0d++'所以abc100_~010_B=def=a000+h000ghi-300903"000__00o-'000_+d100+e010+h000-100__301_311因此与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数为5,一组基为■100__01o-"00o-「00o-「00o-000000100010000—300_9

2、03-100MMM_301__3112.(西安交通大学2004)设2、<1、3、1r、1-13£-1a2=1,a3=-3,力4=一5码-11—3—51>辽)@>ky记W=9求W丄的基和维数。解分析：令A=(al9a2,a3,a4),贝ljxeW丄o兀丄Wox丄y0&黒=00屮兀二。,于是只需求线性方程组A7x=0,它的基础解系就是W丄的一组基。<21-1-11-11133-3-3<45-5-5147001-100000-100_o-3530得以兀=0的一个基础解系它就是W丄的一组基,且W丄的维数等于3.Of1111-51,02=0,03=00109H丿<3,7a0b、

3、(x0)八、3.(天津大学2004)已知叫-cQbIa，b,c,dwR0z0x,y,zeR>c〃丿〔000丿求函+W?及w^w2的基和维数。70b、解由c0b=码］+级厶3+佼3)+«坊1+耳2)+廻3知dimV；=4。1°cd丿xQi+)©3+迅2知dimV；=3o那么有'a0b、'0y、c0b+0z0、0cd丿,000丿厂兀0歹、0Z0,000丿=(6z+x)Eh+(/?+y)E]3+bE?3+(c+z)E“+cE32+dE33C,Z任意，贝!Jc+z任意。b,d,a+x,b+y任意，得dim"+也）=6,E}VEi3,E23,E2VE32.E33,是Wr+W2的—组基。于是dim（蜥

4、％）=dim蜥+dim也-dim（说+叱）=1,且显然EueW}也，所以可取你为㈣门吧的一组基。4.（上海交通大学2003）以F"2表示数域f上全体2阶矩阵构成的线性空间,ai,a2,a3,a4为两两互异的数且它们的和不等于零。证明<17a<1%、24⑷⑷丿是严的一组基。、a24。2丿证明dimF2x2=4,E1PE129E2PE22是F*2的一组基,(A9^2A39*4)=(E\9E、2专£*21'E?2)ai1%aa.15a；a：Q：则"n仏-◎）=（%-如仏-殆仏-色恥-匂）n仏-勺），l

5、°4)门(线_勺)1

6、+広“2++(色+7GU,kA=)/+(ka2)J+(ka^)J2++(kan)Jn~}cU,所以U是Mn(F)的一个子空间。注意到/J,尸，，尸-线性无关且(/中的每个矩阵都可以表示成IJJ2,的线性组合，所以人丿,尸，，广是U的一组基，dimt/=Ho6.（北京师范大学2006）设V是数域F上的一个〃维线性空间，匕匕是V的两个子空间，且dim«=dim匕二厂。证明：存在V的一个子空间W,使得卩=«㊉⑷二岭㊉证明若—弘则取W=0,结论成立。若厂5则存在r^v^^v2O分别取K，%的一组基片0，久,0八则人不能由⑷，，勺线性表出，也不能由A，,0,.线性表出，所以的，，色，人线性无关,0,

7、,卩畀、线性无关，得两个厂+1维子空间==%㊉,%=<0

8、,,0『,儿>=岭㊉<兀>。如果r+=n,则取W=<”>,结论成立。如果r+l,卩=岭㊉<久，，兀_『>。令W=,结论成立。7.（北京师范大学2007；北京邮电大学2004）设v是数域F上的一个〃维向量空间证明：（1）V的任意一个真子空间都是V的若干个”