高代第六章 线性空间.ppt

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1、线性空间第六章线性空间线性空间§1集合和映射§1集合和映射一、集合集合：由一堆东西组成的整体，通常用大写字母A、B、C表示。元素：组成集合的个体，通常用小写字母a、b、c表示。集合与元素的关系：(1)a∈A表示a是集合A中的元素。(2)a∈A表示a不是集合A中的元素。(3)无限集：由无限个元素组成的集合。(4)有限集：由有限个元素组成的集合。(5)空集：不含任何元素的集合，通常用Ф表示。线性空间§1集合和映射集合的表示方法：(1)列举法：列举出集合的全部元素。(2)描述法：给出元素所具有的共同特征，表示为A={a

2、

3、a具有的某种性质}。集合与集合的关系(1)包含：若集合A的元素全是集合B中的元素，则称A是B的子集合，或称集合B包含集合A，记为A⊂B或B⊃A。(2)相等：若集合A与集合B含有完全相同的元素，则称集合A与集合B相等，记为A=B。线性空间§1集合和映射集合的运算：(1)集合的交：A和B是两个集合，既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交，记为：A∩B={x

4、x∈A且x∈B}。(2)集合的并：A和B是两个集合，属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并，记为：A∪B={x

5、x∈A或x∈B}。集合的交

6、和并可以推广到任意个集合的情况：线性空间§1集合和映射几个运算规律：(1)A∩B⊂AA∩B⊂B(2)A∪B⊃AA∪B⊃B(3)A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A(4)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(5)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)线性空间§1集合和映射二、映射映射：设A、B是两个非空集合，若存在A到B的一个对应法则σ，使得对∀a∈A，存在唯一确定的b∈B与之对应，则称σ是A到B的一个映射，记为σ：a→b或σ(a)=b，其中b称为a在映射σ下的像，a称为b在映射σ下的原像。关于A到B的映射σ，应

7、该注意以下几点：(1)若集合A和B相同，常称为A到A的变换。(2)集合A中每个元素必须在B中有像，而且像是唯一的，但A中不同的元素可以有相同的像。(3)不要求集合B中每个元素在A中有原像。(4)两个集合之间可以建立多个映射。线性空间§1集合和映射映射的像集：设σ是集合A到B的映射，其像的全体称为σ的像集，记为：σ(A)={σ(a)

8、a∈A}或Im(A)={σ(a)

9、a∈A}。映射的相等：设σ和τ是集合A到B的两个映射，若对A中每个元素a，都有σ(a)=τ(a)，则称这两个映射相等，记为：σ=τ。线性空间§1集合和

10、映射特殊映射：恒等映射：设σ是集合A到A的映射，若对∀a∈A都有σ(a)=a，则称σ是集合A上的恒等映射，记为：σ=IA满射：设σ是集合A到B的映射，若σ(A)=B，则称σ为A到B单射：设σ是集合A到B的映射，若∀a1,a2∈A，a1≠a2，有σ(a1)≠σ(a2),则称σ是A到B的单射。双射：设σ是集合A到B的映射，若σ既是单射又是满射，则称σ是A到B的双射，或称为一一映射。的满射。线性空间§1集合和映射映射的乘积：设σ是集合A到B的映射，τ是集合B到C的映射，定义:(τσ)(a)=τ(σ(a)),∀a∈A，则

11、称τσ是映射σ和τ的乘积，其中τσ是集合A到C的映射。逆映射：设σ是集合A到B的映射，τ是集合B到A的映射，若τσ=IA,στ=IB,则称τ为σ的逆映射，记为：τ=σ-1。设σ是A到B的映射，则σ可逆的充要条件是σ为一一映射。线性空间§2线性空间的定义和性质§2线性空间的定义和性质一、线性空间的定义例1解析几何中，三维空间中向量的基本属性是可按平行四边形规律相加，也可以与实数做数量乘法。例2为求解线性方程组，定义了n维向量的加法和数与向量的例3对于函数，定义了函数的加法和实数与函数的数量乘法。虽然所考虑的对象不同

12、，运算的定义也各不相同，但它们都有类似的代数运算：加法和数量乘法。数量乘法。线性空间§2线性空间的定义和性质定义1设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V上定义一种代数运算，加法：对V中任意两个元素α和β，在V中都有唯一的一个元素γ与它们相对应，称为α与β的和，记为：γ=α+β。在数域P与集合V的元素之间定义一种运算，数量乘法：对于数域P上的任意一个数k与V中任意一称为k与α的数量乘积，记为：δ=kα。如果所定义的加法和数量乘法满足如下8条规则，则称V为数域P上的线性空间。个元素α，在V中都有唯一的一个元素δ与

13、它们相对应，称线性空间§2线性空间的定义和性质对∀α，β，γ∈V，k，l∈P，加法满足下面四条规则：(1)α+β=β+α(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)V中有一元素Θ，对于V中任一元素α都有Θ+α=α(4)V中任一元素α，都有V中的元素β使得α+β=Θ数量乘法满足下面两条规则：(5)1α=α(6)k(lα)=(kl)α数量乘法与加法满足下面两条规则：(7)(k+